Introducción

La teoría del punto fijo es una de las herramientas más importantes del análisis matemático que ha sido crucial en el desarrollo de varias áreas de la matemática como ecuaciones diferenciales, teoría de juegos, teoría de fractales, economía, teoría de optimización, teoría de aproximación, ecuaciones integrales, entre otras. En el año 1922 se inicia el estudio de la Teoría Métrica del Punto fijo con el resultado que se introduce en ^{Banach (1922}). El Principio de Contracción de Banach ha sido generalizado considerando nuevos tipos de condiciones contractivas y, en otros casos, debilitando las condiciones sobre el espacio en el cual está definida la función. Es así como aparecieron varios resultados en esta línea, como por ejemplo, los avances dados por Rakotch, Kannan, Chatterjea, Ciric, como se estudia ^{en Olatinwo & Ishola (2018);} la introducción de las funciones que alteran distancia por ^{Khan, Swaleh, & Sessa (1984}) y el uso de las desigualdades contractivas de tipo integral por ^{Branciari (2002}).

En 1976 comienza a crecer el interés por la investigación sobre puntos fijos en común para un par o familias de aplicaciones. Uno de los resultados importantes en esta línea es presentado ^{en Jungck (1976)} donde proporciona condiciones sobre un par de funciones definidas en un espacio métrico completo para garantizar existencia y unicidad de punto fijo en común mediante el uso de la conmutatividad bajo ciertas condiciones contractivas. El desarrollo de esta teoría tuvo auge cuando las investigaciones se enfocaron en el estudio de nuevas condiciones contractivas y de conmutatividad.

Inicialmente, la propiedad de conmutatividad fue usada en ^{Jungck (1976}), dando respuesta a un problema de punto fijo en común que se mantenía abierto para la época y generalizando de esta forma el principio de contracción de Banach. Esta propiedad fue ampliamente generalizada por varios autores con el fin de obtener nuevos resultados de puntos fijos, con lo cual aparecieron las nociones de; funciones débilmente conmutativas, ver ^{Singh & Tomar (2003}), funciones compatibles en Jungck (1986), funciones R-débilmente conmutativas, ver ^{Singh & Tomar (2003)}, funciones débilmente compatibles en Jungck & Rhoades (1998) funciones ocasionalmente débilmente compatibles en ^{AL-Thagafi & Shahzad (2008}), entre otras. Un estudio exhaustivo acerca de las relaciones sobre algunos de estos conceptos fue publicado en ^{Singh & Tomar (2003)}.

En lo que sigue, ℕ representará el conjunto de los números naturales (comenzando desde 1) y 𝐶(𝑓,𝑔) es el conjunto de todos los puntos donde 𝑓 y 𝑔 coinciden, esto es 𝐶 𝑓,𝑔 ={𝑥∈𝑋:𝑓 𝑥 =𝑔(𝑥)}. Si 𝑓 𝑥 =𝑔 𝑥 =𝑤, llamaremos a 𝑥 punto coincidente de 𝑓 y 𝑔, mientras que 𝑤 es llamado punto de coincidencia de 𝑓 y 𝑔.

Definición 1.1. Sean 𝑓,𝑔:𝑋⟶𝑋 dos funciones. Un punto 𝓏∈𝑋 es llamado punto fijo en común de 𝑓 y 𝑔 si 𝑓 𝓏 =𝑔 𝓏 =𝓏.

Una versión de la noción de función de control ha sido llamada función que altera distancia, la cual fue introducida en ^{Khan, Swaleh, & Sessa (1984}) y usada para probar un teorema de punto fijo de una función, lo cual generalizo el principio de contracción de Banach.

Definición 1.2. Una función 𝜓: 0,+∞ →[0,+∞), es llamada una función que altera distancia, si cumplen las siguientes condiciones:

Se denota por 𝛹 al conjunto de todas las funciones que alteran distancia.

La siguiente definición fue dada en ^{Jungck (1986}).

Definición 1.3. Diremos que las funciones 𝑓 y 𝑔 son aplicaciones compatibles en un espacio métrico 𝑋,𝑑 , si lim 𝑛→∞ 𝑑 𝑓 𝑔 𝑥 𝑛 ,𝑔 𝑓 𝑥 𝑛 =0, siempre que 𝑥 𝑛 𝑛 sea una sucesión en 𝑋 tal que lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑥 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑔 𝑥 𝑛 =𝑡, para algún 𝑡∈𝑋.

En ^{Morales & Rojas (2012}), los autores usaron esta noción para establecer condiciones que garantizan la existencia y unicidad de punto fijo en común para dos funciones sobre un espacio métrico completo. Lo interesante de este resultado es que, entre las hipótesis, se pide que las funciones satisfagan una desigualdad contractiva que involucra funciones que alteran la distancia y así, el teorema constituye la primera aparición de este tipo de funciones en la teoría de punto fijo en común. De esta forma se generalizó y se extendió el teorema principal dado en ^{Jungck (1976}). Enunciamos a continuación el teorema dado por ^{Morales & Rojas (2012)}, el cual es importante en nuestra investigación.

Teorema 1.4. Sean (𝑋, 𝑑) un espacio métrico completo y 𝑓,𝑔:𝑋⟶𝑋 dos funciones satisfaciendo las siguientes condiciones:

existe un número 0≤𝑞<1 tal que

Entonces, 𝑓 y 𝑔 tienen un único punto fijo en común.

Una condición necesaria para la no compatibilidad fue dada en ^{Aamri & El Moutawakil (2002}), llamada

Propiedad E. A.

Definición 1.5. Diremos que las funciones 𝑓 y 𝑔 definidas sobre un espacio métrico 𝑋,𝑑 , son aplicaciones que satisfacen la propiedad E.A., si existe una sucesión 𝑥 𝑛 𝑛 en 𝑋 tal que lim 𝑛⟶∞ 𝑓 𝑥 𝑛 = lim 𝑛⟶∞ 𝑔 𝑥 𝑛 =𝑡, para algún 𝑡∈𝑋.

En 1998, se extendió la noción de compatibilidad mediante el concepto de funciones débilmente compatibles, publicada en ^{Jungck & Rhoades (1998}).

Definición 1.7. Diremos que 𝑓 y 𝑔 son aplicaciones débilmente compatibles si 𝑓 𝑔 𝑥 =𝑔 𝑓 𝑥 , para todo 𝑥∈𝐶(𝑓,𝑔).

En ^{AL-Thagafi & Shahzad (2008}), los autores debilitaron la Definición 1.6 a través de la siguiente noción.

Definición 1.8. Diremos que 𝑓 y 𝑔 son aplicaciones ocasionalmente débilmente compatibles si existe 𝑡∈𝐶(𝑓,𝑔) tal que 𝑓 𝑔 𝑡 =𝑔 𝑓 𝑡 .

El siguiente resultado fue probado en ^{Kumar (2010}), el cual generaliza el teorema del punto fijo de Jungck sin requerimiento de continuidad en las funciones, debilitando las contenciones entre los rangos y, además, no se pide completitud del espacio métrico.

Teorema 1.9. Sean 𝑋,𝑑 un espacio métrico y 𝑓,𝑔:𝑋⟶𝑋 dos funciones satisfaciendo las siguientes condiciones:

existe un número 0≤𝑞<1 tal que

𝑓 y 𝑔 son débilmente compatibles.

Entonces, 𝑓 y 𝑔 tienen un único punto fijo en común.

En este ámbito, el resultado anterior constituye uno de los primeros estudios de punto fijo en común para funciones definidas en espacios métricos no necesariamente completos, usando la desigualdad contractiva dada en ^{Jungck (1976}).

Proposición 1.10. Sea 𝛼: ℝ + →[0,1) una función. Si 𝑥 𝑛 𝑛 es una sucesión en ℝ + ∖{𝑎} tal que 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 =𝑎, entonces

Recientemente en ^{Barrera (2021}), se prueba un teorema de punto fijo en común para dos funciones compatibles definidas sobre un espacio métrico completo, satisfaciendo una desigualdad contractiva que además de usar funciones que alteran distancia, reemplaza la constante de contracción por una función. Este resultado establece lo siguiente.

Teorema 1.11. Sean (𝑋,𝑑) un espacio métrico completo y 𝑓,𝑔:𝑋⟶𝑋 dos funciones satisfaciendo las siguientes condiciones:

existe una función 𝛼: ℝ + ⟶[0,1) con limsup 𝑡→𝑎 𝛼 𝑡 <1 para todo 𝑎>0 y 𝜓∈𝛹, tal que

Entonces, 𝑓 y 𝑔 tienen un único punto fijo en común.

El objetivo de este trabajo es extender la teoría del punto fijo en común para funciones definidas sobre un espacio métrico no necesariamente completo, usando desigualdades contractivas que dependen de funciones que alteran la distancia entre puntos.

Metodología

Con el objetivo de obtener punto fijo en común para dos funciones siguiendo la línea de investigación iniciada en ^{Jungck (1976}), considerando espacios métricos no completos, en la revisión bibliográfica se pudo constatar que en ^{Kumar (2010}) se da el primer paso exitoso con un aporte bastante interesante. En cuanto al uso de las funciones que alteran la distancia, en este ámbito no existen resultados que garanticen existencia y unicidad de punto fijo en común. Lo más cercano a nuestro problema planteado, ha sido publicado en ^{Morales & Rojas (2012}), quienes fueron los primeros autores en obtener condiciones que garantizan punto fijo en común para un par de funciones definidas sobre un espacio métrico completo, satisfaciendo una condición contractiva que involucra funciones que alteran distancia.

Por otra parte, en ^{Kumar (2010}) los autores utilizaron la desigualdad contractiva dada en ^{Jungck (1976}), junto con las nociones que extienden la conmutatividad, como lo es el caso de la compatibilidad débil. Así mismo, la propiedad E. A., es requerida y permite eliminar la completitud del espacio. Por lo tanto, con esas condiciones fue natural no requerir contención entre los rangos, lo que significó un avance significativo respecto al resultado principal de ^{Jungck (1976)}.

Para obtener el resultado principal de este trabajo, se usó lo hecho en ^{Kumar (2010}) para funciones débilmente compatibles en espacios métricos satisfaciendo la propiedad E. A., lo hecho en ^{Morales & Rojas (2012}), para desigualdades contractivas dependientes de una función que altera la distancia y lo hecho en ^{Barrera (2021}), considerando una función como parámetro contractivo en la desigualdad contractiva, de tal forma de adaptarlo a nuestro caso mediante el uso de funciones ocasionalmente débilmente compatibles. En otras palabras, combinamos las ideas del Teorema 1.4, Teorema 1.9 y del Teorema 1.11, para alcanzar el objetivo de esta investigación.

Resultados y Discusión

En lo que sigue se enuncia y se demuestra el teorema mediante el cual se alcanzó el objetivo de este trabajo de investigación. El resultado garantiza la existencia y unicidad de punto fijo en común para dos funciones ocasionalmente débilmente compatibles, satisfaciendo una condición contractiva que involucra funciones que alteran distancia, cuya constante de contracción se ha reemplazado por una función. Como consecuencia, se extendió el teorema 2 de ^{Kumar (2010}).

A continuación, presentamos el aporte principal de esta investigación a través del siguiente teorema.

Teorema 3.1. Sean 𝑋,𝑑 un espacio métrico, 𝑓,𝑔:𝑋⟶𝑋 dos funciones y 𝜓∈𝛹. Suponga que,

Existe una función 𝛼: ℝ + ⟶[0,1) tal que,

Entonces 𝑓 y 𝑔 tienen un único punto fijo en común.

Demostración. Dado que 𝑓 y 𝑔 son funciones ocasionalmente débilmente compatibles, entonces existe 𝓏∈𝐶(𝑓,𝑔) tal que 𝑓 𝑔 𝓏 =𝑔(𝑓 𝓏 ). Esto implica que 𝑓 𝑔 𝓏 =𝑔 𝑓 𝓏 =𝑔 𝑔 𝓏 . Por lo tanto,

Ahora bien, de (i), (1) y tomando en cuenta que 𝓏∈𝐶(𝑓,𝑔), se tiene que,

Por las propiedades de las funciones 𝛼 y 𝜓, se obtiene a partir de (2) que,

por lo tanto

Así, es claro que

Luego, de (1) y (3) se sigue

es decir, 𝑡=𝑔(𝓏) es un punto fijo en común para 𝑓 y 𝑔. En lo que sigue, se verifica que 𝑡 es el único punto que satisface (4).

En efecto, supongamos que existe 𝑦∈𝑋 tal que 𝑓 𝑦 =𝑦=𝑔(𝑦). A partir de (i) se tiene que

Por lo tanto, 𝜓 𝑑 𝑦,𝑡 =0.

Así, obtenemos que 𝑑 ??,𝑡 =0, es decir, 𝑦=𝑡. Por lo tanto, 𝑡=𝑔(𝓏) es el único punto fijo en común para 𝑓 y 𝑔.

El siguiente resultado es consecuencia del Teorema 3.1 y constituye una generalización del Teorema 2 de ^{Kumar (2010}).

Teorema 3.2. Sean 𝑋,𝑑 un espacio métrico, 𝑓,𝑔:𝑋⟶𝑋 dos funciones y 𝜓∈𝛹. Suponga que,

existe una función 𝛼: ℝ + →[0,1) con limsup 𝑡→𝑎 𝛼 𝑡 <1 para cada a>0 tal que,

Entonces 𝑓 y 𝑔 tienen un único punto fijo en común.

Demostración: Dado que 𝑓 y 𝑔 satisfacen la propiedad E.A., entonces existe una sucesión 𝑥 𝑛 𝑛 ⊂𝑋 tal que lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑥 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑔 𝑥 𝑛 =𝑡 , para algún 𝑡∈𝑋. Como 𝑓(𝑋) es un subespacio cerrado de 𝑋, entonces 𝑡∈𝑓(𝑋), es decir, existe 𝑎∈𝑋 tal que,

Ahora bien, probemos que 𝑓 𝑎 =𝑔(𝑎). En efecto, de (ii) se sigue que,

Tomando límite superior cuando 𝑛→∞ en ambos lados de (6), usando la continuidad de 𝜓 y la Proposición 1.10, se tiene que

por lo tanto,

es decir,

Esto implica que 𝑔 𝑎 =𝑡=𝑓(𝑎) y así, 𝑎∈𝐶(𝑓,𝑔). Ahora bien, dado que 𝑓 y 𝑔 son débilmente compatibles, entonces 𝑓 𝑔 𝑎 =𝑔 𝑓 𝑎 , es decir, 𝑓 y 𝑔 son funciones ocasionalmente débilmente compatibles. De esta forma se cumplen las condiciones del Teorema 3.1, con lo cual se concluye que 𝑓 y 𝑔 tienen un único punto fijo en común, siendo en este caso, 𝑡.

Una de las consecuencias del resultado anterior es dada por el siguiente corolario, el cual es precisamente el Teorema 2 probado en ^{Kumar (2010}).

Corolario 3.3. Sean 𝑋,𝑑 un espacio métrico, 𝑓,𝑔:𝑋⟶𝑋 dos funciones satisfaciendo las siguientes condiciones:

existe un número 0≤𝑞<1 tal que

Entonces 𝑓 y 𝑔 tienen un único punto fijo en común.

Demostración: Esta es una consecuencia inmediata del Teorema 3.2, considerando

El siguiente ejemplo muestra la importancia del Teorema 3.1 con respecto al Corolario 3.3.

Ejemplo 3.4 Sea 𝑋= 0,+∞ dotado con la métrica usual y consideremos las funciones, 𝑓,𝑔:𝑋⟶𝑋 definidas por

Sea 𝛼: ℝ + → 0,1 definida como sigue,

y considere 𝜓: 0,+∞ → 0,+∞ dada por la fórmula 𝜓 𝑡 = 𝑡 2 . Es sencillo ver que 𝑓 𝑔 0 =𝑔 𝑓 0 y así, 𝑓 y 𝑔 son funciones ocasionalmente débilmente compatibles. Ahora, note que

y si 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑦 ≠0, entonces

Ya que 𝑋= 0,+∞ , entonces para todo 𝑥,𝑦∈𝑋 tenemos que 𝑥−𝑦 ≤2 𝑥+𝑦 y, por lo tanto,

es decir,

Así, es claro que (7) es equivalente a,

Por lo tanto, se cumplen todas las hipótesis del Teorema 3.1 con lo cual se concluye que 𝑓 y 𝑔 tienen un único punto fijo en común, 𝑥=0.

Por otro lado, no es posible aplicar el Corolario 3.3 para demostrar que 𝑓 y 𝑔 tienen punto fijo en común en 𝑋, ya que,

es decir,

Por lo tanto, no se cumple la condición (𝑖𝑖𝑖).

El Teorema 3.1 da condiciones mínimas requeridas para garantizar que un par de funciones definidas sobre un espacio métrico tenga un único punto fijo en común. Con este resultado se logró un aporte novedoso a la teoría métrica de punto fijo en común a través del Teorema 3.2 para funciones definidas sobre un espacio métrico no necesariamente completo, satisfaciendo una desigualdad contractiva dependiente de una función que altera distancia y considerando una función como parámetro contractivo.

Conclusiones

El interés por el estudio de la teoría del punto fijo para dos funciones radica entre otros aspectos, en minimizar las condiciones (tanto de las funciones, como del espacio donde se encuentran definidas), que garantizan existencia y unicidad de punto fijo en común. En ^{Kumar (2010}), se observa que, una de las condiciones esenciales que deben cumplir un par de funciones para garantizar punto fijo en común, es la verificación de algún tipo de desigualdad contractiva, las cuales, en la mayoría de los casos, tienen como parámetro contractivo una constante. En este trabajo se hizo un aporte significativo a la teoría métrica del punto fijo al usar una desigualdad contractiva dependiente de funciones que alteran la distancia entre puntos y, cuyo parámetro de contracción, depende de una función. Esto permite manejar con mayor grado de libertad el acercamiento al punto fijo (cuando existe). Notamos que estructuras del espacio como completitud e incluso, propiedades de las funciones como, conmutatividad, continuidad o contención entre los rangos, no fueron requeridas para la obtención del resultado. Por lo tanto, podemos afirmar que con esta investigación se ponen de manifiesto condiciones mínimas para garantizar existencia y unicidad de punto fijo en común para un par de funciones.

Actualmente existen otras estructuras métricas como, por ejemplo, espacios con 𝜔-distancia, donde también sería interesante realizar estos mismos estudios.

Contribuciones de los autores

En concordancia con la taxonomía establecida internacionalmente para la asignación de créditos a autores de artículos científicos (https://casrai.org/credit/ ). Los autores declaran sus contribuciones en la siguiente matriz:

Conflicto de Interés

Los autores declaramos que no existe ningún tipo de Conflicto de Interés en este trabajo.