2.1 Estructura de la demostración del TPM clásico

Aunque no se realizará la demostración del TPM clásico, un esquema de la misma será presentado, para lo cual algunas definiciones son necesarias.

Definición 2.1 (Deformación). Sean E un espacio de Banach y A⊂B⊂E. Se dice que B es deformable en A si existe una función continua η: 0,1 ×B→B tal que cumple con las siguientes tres características:

η0,u=u,  ∀ u∈B,ηt,u∈A,  ∀ u∈Ay∀ t∈ 0,1 ,η1,u∈A,  ∀ u∈B.

Observación 2.1. En general, para B⊂E, se llama deformación de B a la función continua η: 0,1 ×B→B que satisfae η0,u=u para todo u∈B.

Definición 2.2 (Subniveles de un funcional). Sea E un espacio de Banach e I:E→ℝ un funcional. Para cualquier a∈ℝ se define,

Ia={u∈E | I(u)≤a}.

Estos conjuntos son conocidos como los subniveles del funcional I.

Definición 2.3 (Familia invariante). Sea E un espacio de Banach y sea η una deformación en E. Una familia Γ de subconjuntos de E se dice invariante para η si

∀A∈Γ y∀t∈0,1,ηt,A∈Γ.

Definición 2.4 (Clase de minimax). Sea E un espacio de Banach e I:E→ℝ un funcional. Cualquier familia Γ de subconjuntos de E es llamada una clase de minimax, y el valor

c=infA∈Γsupu∈AIu

es llamado el nivel de minimax de Γ.

Definición 2.5 (Familia α-admisible). Sea E un espacio de Banach, I:E→ℝ un funcional, α>0 un número real, Γ una clase de minimax y c su nivel de minimax. Se dice que Γ es α-admisible con respecto a I si

A continuación se resume la demostración del TPM clásico con el siguiente esquema de pasos.

2.2 Aplicaciones del TPM clásico

La principal aplicación que posee el TPM clásico es como herramienta para garantizar la existencia de soluciones débiles de ecuaciones diferenciales parciales semilineales y elípticas. De hecho, fue con la motivación de encontrar soluciones de dichos problemas semilineales que Ambrosetti y Rabinowitz lo estudiaron en primer lugar. Uno de los problemas tipo que se puede resolver con esta metodología se presenta a continuación.

Considérense Ω⊂ℝn un conjunto abierto y acotado para n≥3, q∈L∞Ω, f:ℝ→ℝ y el problema de hallar u:Ω¯→ℝ tal que resuelva

Se dice que u es solución débil del problema (1) si

El procedimiento variacional para la solución de esta EDP consiste en encontrar un funcional I:H01Ω→ℝ continuamente diferenciable para el cual

I'uv=∫Ω∇u⋅∇v dx+∫Ωqxuv dx−∫Ωfv dx;

una vez logrado esto, basta probar que I posee un punto crítico para obtener la existencia de la solución débil deseada. Si Ft=∫0tfs ds, entonces se puede probar que el funcional

I:H01Ω→ℝu↦12∫Ω|∇u|2 dx+12∫Ωqxu2 dx−∫ΩFu dx,

posee tal derivada precisamente. Si se consideran las siguientes hipótesis, se puede emplear TPM clásico para garantizar la existencia del punto crítico.

Hipótesis

h1:Ω⊂ℝn es abierto y acotado y qx≥0 c.t.p x∈Ω.

h2: f es continua y existen p∈2,2* y K>0 tales que

ft≤K(|t|p−1+1),∀t∈R ²

h3:límt→0f(t)t=0.

h4: Existen M>0 y μ>2 tales que si t≥M, ftt≥μFt.

h5: Existe t0∈ℝ con t0≥M tal que Ft0>0.

El detalle de cómo utilizar tales hipótesis para probar que el funcional I posee geometría de paso de montaña y para demostrar que satisface PS se puede encontrar descrito por ^{Badiale y Serra (2011}). Las aplicaciones del TPM clásico no se reducen a este tipo de problemas; de hecho, son numerosas y frecuentes en la investigación contemporánea, cuestión que hace imposible detallarlas en su totalidad; el lector interesado puede dirigirse a ^{Ambrosetti (1992}), ^{Ambrosetti y Malchiodi (2007)}, ^{Ambrosetti y Rabinowitz (1973)}, ^{Badiale y Serra (2011)}, ^{Evans (2010}), ^{Jabri (2003}) o Rabinowitz (1986).

2.3 Estructura de la demostración del TPM topológico

Para presentar el esquema de demostración del TPM topológico son necesarias una serie de definiciones.

Definición 2.6 (Familia topológicamente admisible). Sea X un espacio topológico compactamente conexo; sean x1,x2∈X y f:X→ℝ una función continua. La familia de conjuntos (clase de minimax)

Γ={Σ⊂X |Σes conexo, compacto yx1,x2∈Σ},

con nivel de minimax

c=ínfΣ∈Γ máxx∈Σfx,

se dice topológicamente admisible con respecto a f si

Observación 2.2. Téngase en cuenta que, gracias a que se define en un espacio compactamente conexo, Γ≠Ø. Además, la primera propiedad garantiza que c∈ℝ.

Análogamente a lo expuesto para el TPM clásico, se puede resumir la demostración del TPM topológico con un esquema de pasos.

2.4 Aplicaciones del TPM topológico

La mayoría de las aplicaciones del TPM topológico, y todas las que se presentan en esta sección, se pueden encontrar descritas por ^{Katriel (1994}) en el artículo en el que por primera vez introduce el teorema. En dichas aplicaciones se usa la siguiente versión del TPM a manera de corolario.

Corolario 2.1 (^{Katriel, 1994}). Sean X un espacio topológico, localmente conexo y compactamente conexo, y f:X→ℝ una función continua y creciente al infinito. Si x1 y x2 son mínimos locales estrictos de f, entonces existe x3∈X que es un mínimo local o un punto global de paso de montaña de f, con fx3>máxfx1,fx2.

El principal teorema de aplicación del TPM topológico es el siguiente teorema de homeomorfismos.

Teorema 2.1. Sean X e Y dos espacios topológicos, Y conexo y X localmente compacto y compactamente conexo. Entonces una de las dos siguientes alternativas se sigue:

Como para todo teorema de alternativa exclusiva, en este caso existen dos tipos de aplicaciones: por un lado si se tienen dos espacios X e Y que satisfacen las hipótesis del teorema y se pudiera encontrar una función f:Y→ℝ continua y creciente al infinito tal que sólo posee un número finito de mínimos locales y ningún punto de paso de montaña entonces se sabe que todo homeomorfismo local propio entre X e Y es homeomorfismo global. Por otro lado si se encuentra un homeomorfismo local propio F:X→Y que no sea homeomorfismo global entonces se sabría que cualquier función continua creciente al infinito f:Y→ℝ tendría infinitos mínimos locales o al menos un punto local de paso de montaña. Para descargar un poco la terminología, considérese la siguiente definición.

Definición 2.7 (Función y espacio simple). Una función f:Y→ℝ continua y creciente al infinito y que posee únicamente un número finito de mínimos locales y ningún punto local de paso de montaña es llamada función simple. El espacio topológico Y que admite alguna función simple es llamado espacio simple.

Tomando en cuenta esta definición, se desprende directamente del Teorema 2.1 el siguiente resultado.

Teorema 2.2. Si X es un espacio topológico localmente conexo y compactamente conexo y Y es un espacio simple y conexo, entonces cualquier homeomorfismo local propio F:X→Y es un homeomorfismo global.

A continuación se presenta el detalle de algunos resultados que se obtienen directamente de este teorema.

Corolario 2.2. Todo homeomorfismo local propio de ℝn en si mismo es un homeomorfismo global.

Demostración. Para aplicar el teorema precedente, sea X=Y=ℝn. Como ℝn es localmente conexo, compactamente conexo y conexo, entonces si se prueba que es simple, el resultado se sigue. Para ello se debe hallar al menos una función simple en ℝn. La función

f:ℝn→Rx↦‖x‖

es simple. En efecto, la norma euclídea es continua y coerciva, propiedad que implica que es creciente al infinito al estar en dimensión finita (se probará esta afirmación más adelante). Además dado cualquier vector no nulo en ℝn siempre se puede encontrar uno con norma más pequeña, implicando esto que el único punto de mínimo es el mínimo global x=0. Lo único que hace falta ver es que f no posee punto locales de paso de montaña: para ello tómese x∈ℝn y M una vecindad de x. El objetivo es mostrar que existe N⊂M vecindad de x que hace que {y| f(y)ᐸf(x)}∩N sea conexo: se tiene por un lado que

{y| f(y)ᐸf(x)}={y| yᐸx}=Bx(0),

es la bola abierta de centro cero y radio ‖x‖. Como M es abierto se sabe que existe δ>0 tal que Bδx⊂M. Tomando N=Bδx, que es claramente vecindad de x, se tiene lo buscado ya que B‖x‖0∩Bδx es conexo al ser intersección de dos bolas abiertas en el espacio euclídeo. Un ejemplo en dos dimensiones es presentado en la Figura 1.

Figura 1: Ejemplo de la demostración del Corolario 2.2. Aquí M, en marrón, es una vecindad abierta de x que en general podría ser disconexa y B={y| f(y)ᐸf(x)}=Bx(0).En verde se presenta la intersección conexa buscada. 

Con argumentos análogos se puede probar el siguiente corolario.

Corolario 2.3. Todo homeomorfismo local de Sn en si mismo es un homeomorfismo global siempre que n≥2.

Ninguno de los dos resultados precedentes es nuevo, sin embargo para el caso del segundo la prueba usual (^{Spanier, 1966}) está basada en el hecho de que Sn es simplemente conexo para n>1, cuestión mucho más difícil de probar que la existencia de una función simple. En el caso del Corolario 2.2, se ha realizado la demostración en detalle, usando las sugerencias dadas por ^{Katriel (1994}).

El segundo tipo de aplicación del Teorema 2.1 se presenta a continuación.

Teorema 2.3 (^{Katriel, 1994}). Sea W un espacio topológico compactamente conexo y localmente conexo. Sea X=S1×W. Entonces toda función f:X→ℝ continua y creciente al infinito posee un número infinito de mínimos locales o un punto de paso de montaña (o ambos)

Como ejemplo tómese X=Tn=S1×S1×⋯×S1 (n veces). En específico T2, el clásico toro. Con X=S1×Tn−1, el teorema se aplica y se concluye que toda función continua (como X es compacto toda función es creciente al infinito) f:Tn→ℝ posee un número infinito de mínimos locales o un punto de PM. Esto deja un problema abierto: si uno encontrase una función continua desde el toro a los reales sin puntos locales de PM, podría afirmar que toda función real continua definida en el toro posee un número infinito de mínimos locales; de igual forma si se encontrase una función continua con un número finito de mínimos locales se podría aseverar que toda función continua definida en el toro posee necesariamente al menos un punto de paso de montaña.

Observación 2.3. Como se puede apreciar, las aplicaciones del TPM topológico son meramente útiles en la propia topología, en especial en aquella referente a las superficies compactas y conexas de los espacios euclídeos, algo que se suele llamar aplicaciones teóricas. Usando el Teorema de alternativa (Teorema 2.1), que es bastante general, ^{Katriel (1994}) brinda algunas aplicaciones más en el estilo ya mostrado, para conjuntos tan simples como las bolas cerradas o tan complejos como el plano proyectivo. No se ha encontrado en la literatura aplicaciones más prácticas.

3.1 Aplicaciones en común de los teoremas de paso de montaña: el TPM en dimensión finita

Se puede inferir por lo expuesto por ^{Ambrosetti y Rabinowitz (1973}) la clara motivación en su afán de demostrar el TPM clásico: asegurar la existencia de soluciones débiles de EDPs semilineales elípticas. Por otro lado, ^{Katriel (1994}) buscaba probar teoremas de homeomorfismos, cuestión que resulta de gran importancia en la Topología General. Después de estudiarse ambas aplicaciones puede decirse que no poseen ninguna relación a simple vista. Sin embargo, resulta que existe otra aplicación de connotada relevancia que surge como uno de los puntos en común que se pueden encontrar para ambos contextos del TPM; esta aplicación es un teorema, en Teoría de Puntos Críticos en dimensión finita, que fue demostrado por primera vez por ^{Courant (1950}). Este teorema, que hoy se conoce como Teorema de Paso de Montaña en dimensión finita, puede considerarse la primera aproximación al tipo de demostración que poseen las otras dos versiones.

A continuación se presenta su enunciado. ^{Struwe (2008}) presenta una demostración asequible. La siguiente definición es necesaria.

Definición 3.1 (Función coerciva). Una función continua f:ℝn→ℝ, se dice coerciva si

lim‖x‖→+∞fx=+∞,

o en otras palabras, si

(∀M>0)(∃R>0)tal que∀x∈Rn,

‖x‖>R⇒fx>M.

Teorema 3.1 (Teorema de Paso de Montaña en dimensión finita). Sea f:ℝn→ℝ un funcional continuamente diferenciable C1 y coercivo. Si f tiene dos mínimos locales estrictos x1 y x2, entonces tiene un tercer punto crítico x3 tal que

fx3>máxfx1,fx2.

Uno de los resultados más importantes de esta investigación es el hecho de que el TPM en dimensión finita es un corolario tanto del TPM clásico como del topológico, brindando así ese primer punto de encuentro entre los dos teoremas que puede hacer surgir cuestiones interesantes sobre las posibles relaciones teóricas y lógicas que puedan poseer y que se describen más adelante. A continuación se evidencia lo expuesto, a través de dos demostraciones originales.

3.3.1 ¿El TPM clásico implica al TPM topológico?

Con la salvedad de estar trabajando en X=E=ℝn, donde la conexidad local y compacta así como la compacidad local se tienen por descontado, si se verifican las hipótesis del TPM topológico, el objetivo es ver hasta qué punto las hipótesis del TPM clásico se cumplen, para así poder aplicarlo y al obtener un punto crítico que es un mínimo o punto de PM, demostrar el TPM topológico. Sin embargo, ese procedimiento no es posible en general, como muestra el siguiente contraejemplo. Considérese la función

g:ℝ→ℝx↦−e−(x+2)2/2−e−(x−2)2/8

El primer punto de mínimo local de esta función es x1≈−1.99452 con imagen y1≈−1.00034. Con lo cual, la traslación

fx=gx+x1−y1

posee un punto de mínimo en 0 y f0=0. Además supℝf=−y1.

Como se muestra en la Figura 2 , f posee dos mínimos locales, lo que implica que satisface las hipótesis geométricas del TPM topológico, porque además es creciente al infinito; para ver esto, considérese que si x∈ −6,6  si se toma K= −6,6 , entonces para cualquier z∉K se tiene que fz>fx. Si xᐸ−6 o x>6 basta tomar K= x,−x  o K= −x,x  respectivamente para obtener el resultado. Así, esta función satisface todos lo requerimientos del TPM topológico y de hecho también las hipótesis geométricas del TPM clásico (ya que posee un mínimo estricto en 0 y f0=0 y tiene otro punto de mínimo con imagen menor a cero). Por otro lado es claro que el funcional es continuamente diferenciable. Sin embargo f no satisface PS como se muestra a continuación. La sucesión (xk)k definida por xk=k es de Palais-Smale para f, pues (fxk)k es acotada (de hecho limk→+∞f(xk)=−y1) y además limk→+∞f′(xk)=0 (para ver esto sólo hace falta darse cuenta que f no es mas que una función gaussiana bimodal invertida y trasladada); sin embargo, dicha sucesión no posee una sucesión convergente pues xk→+∞. Así que el cumplimiento de las hipótesis del Teorema topológico no necesariamente implica el cumplimiento de las hipótesis del TPM clásico.

Figure 2: Gráfica de la función f de fórmula f(x)=−e−(x+x1+2)2/2−e−(x+x1−2)2/8−y1, donde se aprecia como ésta cumple con las hipótesis del TPM topológico. 

3.3.2 ¿El TPM topológico implica al TPM clásico?

Suena razonable y tentadora la posibilidad de probar que el TPM topológico es una generalización del TPM clásico para espacios de Banach. Nuevamente, en el caso finito dimensional, donde todas las condiciones de espacio topológico (conexidad local, compacidad local, y conexidad compacta) se cumplen, si se suponen satisfechas todas las hipótesis del TPM clásico, ¿hasta qué punto se cumplen las hipótesis del TPM topológico con el fin de aplicarlo? Para empezar, es interesante que las hipótesis geométricas clásicas si impliquen las hipótesis geométricas topológicas pues S=∂Bρ0¯ separa a 0 y v y p=ínfu∈SI(u)≥α≥máx{I(0),I(v)}. Sin embargo, la función

f:ℝ→ℝx↦1−cosx,

que al tener un mínimo en 0 y otro en 2π satisface las hipótesis geométricas (pues f0=0), es una función continuamente diferenciable que satisface PS pero no es creciente al infinito. Para verificar que satisface PS, supóngase que (xk)k⊂ℝ es una sucesión de Palais-Smale para f, es decir, las sucesión (fk)k es acotada y la sucesión (f'xk)k converge a cero. Esto último implica que

sinxk→0,

que por continuidad implica que

xk→arcsin0=0,

brindando la convergencia de la arbitraria sucesión (xk)k, que prueba lo buscado.

Para probar que f no es creciente al infinito basta probar que existe algún número real x tal que para todo K⊂ℝ compacto exista un número real z∉K tal que fz≤fx. Sea x=π y sea un compacto K⊂ℝ arbitrario pero fijo. Como K es compacto, entonces es acotado, es decir, existe C∈ℝ tal que y≤C para todo y∈K. Ahora, gracias a la propiedad arquimediana de los números reales, existe n∈ℕ tal que nπ>C, con lo cual nπ∉K; si se toma z=nπ, entonces

f(z)=f(nπ)=0 sines par,2 sines impar;

en cualquier caso,

fz≤2=fπ=fx,

probando que f no es creciente al infinito, hecho que se puede corroborar también al evidenciar que f es oscilante. Se presenta su gráfica en la Figura 3.

Figura 3.2: Gráfica de la función f de fórmula f(x)=1−cos(x), donde se aprecia como ésta cumple con las hipótesis geométricas del TPM clásico. 

Aunque hubiera resultado de lo más interesante que el teorema topológico fuese una generalización del teorema clásico (aunque sea en un contexto reducido), el hecho de que no lo sea no resulta nada decepcionante porque implica que el TPM en dimensión finita puede ser demostrado a través de dos métodos que son realmente diferentes en fondo: dos maneras independientes de llegar al mismo resultado, que aunque guardan relación estrecha en estructura superficial, representan esquemas de conocimiento de dos ramas de la matemática relativamente alejadas, que utilizan sus propios conceptos y definiciones de manera idónea para lograr sus propios objetivos (aplicaciones de uno y otro) y que, anecdóticamente, pueden demostrar un teorema de otro ramo.

Independencia lógica

La intención de encontrar relaciones lógicas entre los dos teoremas ha supuesto una tarea sumamente interesante que ha arrojado tal vez el más revelador resultado de este trabajo: que los teoremas estudiados representan dos resultados de naturaleza matemática lógicamente independiente, cuestión que no es trivial pues por sus características estructurales análogas se podía intuir alguna relación en el sentido lógico.

Como se ha advertido, la independencia lógica de ambos resultados posee interés teórico al momento de estudiar su contexto de demostraciones sumamente parecidas, pero asimismo se puede encontrar un interés práctico al saber que en el contexto de la teoría de puntos críticos en dimensión finita se cuenta con dos herramientas distintas para resolver problemas específicos en la búsqueda de dichos puntos.

Hipótesis principal

En la estructura de la demostración del TPM clásico la condición de Palais-Smale PS impuesta sobre el funcional resulta un pilar fundamental en la búsqueda del punto crítico. De igual manera en la estructura de la demostración del TPM topológico el crecimiento al infinito es de esencial relevancia para encontrar el punto de mínimo o punto de paso de montaña. Aunque en el primer caso la condición PS -como hipótesis de estructura- es necesaria en el Principio de Minimax correspondiente y en el segundo caso el crecimiento al infinito forma parte de las hipótesis geométricas, una vez encuadrados en espacios de dimensión finita (donde se equiparan el resto de hipótesis de estructura del espacio) y si se acomodan los puntos mínimos para que las condiciones geométricas en ambos teoremas sean equivalentes, son únicamente esas dos condiciones las que diferencian a los resultados (siempre que se acepte que la función es continuamente diferenciable en el caso del TPM topológico).

Se ha visto, sin embargo, que dichas hipótesis no son equivalentes con los contraejemplos brindados. Es por eso que resulta natural decir que la hipótesis principal del TPM clásico es el cumplimiento de la condición de Palais-Smale mientras que para el TPM topológico resulta el crecimiento al infinito.

Esencia de las demostraciones

Más allá de la clara relación que guardan los teoremas en su estructura de demostración -relación estrecha en vista de la conexión que tienen las familias de minimax, la utilización de dos puntos del espacio dotados de cierta geometría muy parecida y el procedimiento por reducción al absurdo- y el hecho de que ambos garantizan la existencia de un punto mínimo o punto global de paso de montaña para un funcional, se puede evidenciar que resultan en fondo muy distintas: mientras en el caso clásico todo está construido con el objeto de recurrir al Teorema de Deformación -que a su vez es un resultado que se alimenta de la estructura diferencial del espacio y que es el principio motor del TPM clásico- en el caso topológico, es el sistema de conceptos de la topología general el que por sí solo carga con el peso de la demostración. No quiere decir esto que en el TPM clásico no se utilice la topología sino que ésta se encuentra acompañada de consideraciones diferenciales exclusivas de los espacios de Banach, mientras que en el otro caso la generalidad de las consideraciones topológicas es sumamente amplia.

Aplicaciones incompatibles

La motivación para el descubrimiento del TPM clásico fue la resolución de ecuaciones diferenciales parciales, cuestión por la cual es célebre; como para tal aplicación los espacios funcionales donde se trabaja son de dimensión infinita, resulta imposible querer usar al TPM topológico en la misma línea de aplicaciones. Esta evidente consideración no es irrelevante ya que la investigación actual en el campo de las EDPs en la búsqueda de generalizaciones del TPM intenta alcanzar resultados de este tipo que no precisen de las hipótesis usuales; algunas, por un lado, tratan de deshacerse de la condición de Palais-Smale, cuestión de la que el TPM topológico carece, por ejemplo. Sin embargo resulta difícil no utilizar dicha hipótesis aunque existen algunos ejemplos (^{Jabri, 2003}).

Por otro lado, en la búsqueda de generalizaciones del TPM clásico podemos citar a ^{Chang (1981}) que estudia métodos variacionales para funcionales no diferenciables, utilizados por ^{Arcoya y Calahorrano (1994}) con el fin de resolver algunos problemas discontinuos en EDP. ^{Brezis y Nirenberg (1983}) empiezan a dar luz sobre la resolución de ecuaciones diferenciales semilineales en el caso del exponente crítico. Se debe mirar también los trabajos de ^{Brezis (1986)} y ^{Bahri y Coron (1988)}. Asimismo, ^{Katriel (1994}) presenta una generalización del TPM clásico en espacios métricos. Una generalización a espacios topológicos está por descubrirse aún.

De igual manera resulta bastante complejo interpretar el TPM clásico de tal forma que pueda utilizarse en la búsqueda de aplicaciones en Topología, principalmente porque muchos espacio topológicos (como las superficies conexas y compactas para las cuales el TPM topológico posee resultados) ni siquiera son espacios vectoriales, mucho menos espacios de Banach.

Dimensión finita

La incompatibilidad de las aplicaciones principales de cada uno de los teoremas hace mucho más interesante a la aplicación en común más importante: el TPM en dimensión finita. La forma de demostrarlo usando las otras dos variantes, sección que ha representado una de las partes más interesantes de este trabajo, evidencia como la propiedad de coercividad representa más de lo que se ve a primera vista, siempre y cuando se esté trabajando en dimensión finita.

En ese contexto, es interesante que al querer buscar puntos críticos para funciones que poseen dos puntos de mínimo estricto, se tenga como opción para encontrarlos a la verificación de tres distintas cuestiones, que en uno u otro caso resultarán más o menos fáciles de verificar: la coercividad (la más general porque implica las otras dos), el crecimiento al infinito o la condición PS. Esto brinda una riqueza única a las técnicas de búsqueda de puntos críticos en dimensión finita.