Condición de cuantización y niveles de energía exactos.

Para una partícula en movimiento de masa m, confinada en una caja de longitud L y profundidad V ₀, el potencial puede ser escrito como: (0)

^{Reed (1990}) demostró que los niveles de energía para un potencial con estas características pueden obtenerse a partir de una única ecuación trascendental. De esta ecuación y bajo ciertas observaciones ^{Sprung,Wu & Martorell (1992}) dedujeron la expresión siguiente (1), en donde las energías de los estados ligados son soluciones de

donde n denota el número cuántico principal. , es una razón de altura e indica una región específica del pozo o región de interés La ecuación (1) establece las condiciones de cuantización para la partícula en el pozo con la interesante novedad de agrupar soluciones pares e impares y de relacionar a n con la escala de acción , que depende de la energía E, En general, la importancia de la ecuación (1) sobre sus predecesoras es la aparición explícita del número cuántico. Con ella, por ejemplo (2), se puede determinar directamente el enésimo nivel de energía sin necesidad de encontrar primero las anteriores soluciones cuantizadas,

(2)

(3)Para un dado valor de P, con

(3)

P es una medida de la fuerza de atracción del potencial que depende de la profundidad del pozo. Los niveles de energía para el caso particular del potencial de pozo cuadrado infinito se obtienen de forma inmediata haciendo en la ecuación (4), (5) y (6)

(4)

(5)

Otras soluciones exactas y simples como la ecuación (6) son posibles para ‘‘ángulos especiales’’ de en la ecuación (1). En la tabla 1 se muestran algunos valores de que producen soluciones cerradas para los niveles de energía de la partícula en el pozo finito (^{Maor, 1988}).

Tabla 1: Algunos valores especiales (ángulos) para 𝛼 𝑃 , ecuación (1), que conducen a expresiones simples para las energías discretas de una partícula en un potencial de pozo cuadrado finito (en unidades de ℏ 𝑚 𝐿 2 ). 

0
½
1

2.2. Solución general en serie de potencias para los niveles de energía de un potencial de pozo cuadrado finito.

Fórmula de inversión de Lagrange.

Si es una función que toma un desarrollo de Taylor en potencias convergentes de x alrededor de algún punto a, con y derivada primera, entonces puede demostrarse que existe una única función expresable como una serie de potencias en y, la cual converge en algún punto alrededor de a satisfaciendo en ese alrededor

(7)

Fórmulas de Apostol paras derivadas de orden superior.

El teorema de inversión de Lagrange da una expresión formal, ecuación (7), para el desarrollo en serie de potencias de la función (^{Jeffreys & Jeffreys, 1972}). Dada que ésta es la serie de Taylor para , el término dentro de los corchetes en la ecuación (7) representa la i-ésima derivada de g evaluada en a. A partir de esta observación ^{Apostol (2000}) construyó un método para evaluar las derivadas de g, alrededor de un punto arbitrario a, directamente de la función original , sin introducir series de potencias y sin la necesidad de diferenciar el cociente . Apostol (2000) evaluó de forma explícita las derivadas hasta y encontró una fórmula para la -ésima derivada dada por

Donde es un polinomio homogéneo en , con coeficientes enteros, que puede determinarse sucesivamente mediante la fórmula recursiva

Donde y representa la diferenciación de con respecto a x.

Fórmulas explícitas para los niveles de energía del pozo finito

De la ecuación (1) hagamos y definamos r como la razón de alturas para el pozo. De esta última relación al despejar obtenemos un punto alrededor del cual puede evaluarse la serie. En consecuencia, al usar la fórmula de Lagrange, ecuación (7), alrededor de , para invertir la ecuación (10), resulta (11)

(10)

(11)

De la observación de Apóstol (2000) se tiene (12)

(12)

Donde (13)

(13)

La ecuación (12) puede evaluarse conociendo , la cual, a su vez, se obtiene de la relación recursiva ecuación (9) con (14) y (15)

(14)

(15)

A continuación (16), se dan algunas expresiones explícitas obtenidas para los coeficientes: (17), (18), (19), (20) y (21)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Con esta metodología y con el uso adecuado de algún programa de manipulación simbólica se pueden evaluar tantos términos como uno desee en la serie. De las expresiones dadas para se sigue entonces que la energía E de una partícula en un potencial de pozo cuadrado finito unidimensional como función del número cuántico principal y de la profundidad del pozo está dada por (en unidades de ) (22)

(22)

con y definida en la ecuación (13).

Aproximación general

Una muy buena aproximación puede obtenerse expandiendo hasta el tercer orden en r la expresión dada en la ecuación (13), e igualando a cero, con lo que se resulta, después de algunos rearreglos (23)

(23)

Este polinomio tiene sólo una raíz positiva

Dado este caso se observa que la razón de alturas depende de n y P, lo que hace a r un término variable, ideal para evaluar cualquier altura del pozo dado un valor del número cuántico principal.

En la tabla 2, usando la ecuación (24) en la ecuación (22), se comparan las energías calculadas variando P y n con los valores exactos de la ecuación (1). Los cálculos se han extendido hasta potencias de tercer orden en 𝑛 y demuestran que esta aproximación general conduce a soluciones numéricas cuya convergencia ocurre de manera rápida y muy exacta. Incluso usando el primero o segundo término en la serie de potencias en 𝑛 es suficiente para evaluar confiablemente el espectro de energía del pozo finito.

^a Los valores entre paréntesis corresponden a la aproximación de la referencia (^{Sprung, Wu & Martorell, 1992}).

Aproximaciones particulares.

Para este caso introduzcamos como condición que r sea un valor fijo. Dada esta situación podemos examinar dos importantes regiones; el fondo y la mitad del pozo.

Fondo del pozo.

Esta región está descrita por y corresponde a un pozo de profundidad muy grande. Evaluando r en las ecuaciones (16-21) y ecuación (13), y sustituyendo en la ecuación (22), resulta, hasta potencias de octavo orden en , con , y en unidades de , (25)

(25)

Para un pozo de profundidad infinita () esta serie se reduce (26)

(26)

El factor observado en la ecuación (25) distingue los estados ligados más bajos de un pozo finito de aquellos estados correspondiente a un pozo infinito y aparece como un factor de corrección de orden principal en la solución de otros autores (^{Sprung, Wu & Martorell, 1992}; ^{Paul & Nkemzi, 2000}).

Mitad del pozo

Esta región está descrita por . Haciendo uso de las ecuaciones pertinentes al caso, resulta de la ecuación (22), hasta potencias de cuarto orden en , (en unidades de )

En la tabla 3 y tabla 4, usando las ecuaciones (25) y (27), respectivamente, se comparan las energías calculadas para distintos valores de P y n con las energías exactas de la ecuación (1). En ambos casos se observa que para valores fuera de la región para la que se ha hecho la aproximación la solución tiende a fallar.

b Todos los números están dados en unidades de ℏ 𝑚 𝐿 2 .