1.1. Modelización matemática

En los últimos años, el uso de modelos matemáticos en la enseñanza y aprendizaje de materias científicas ha sido objeto de varios estudios (^{Anhalt et al., 2018}; ^{Stillmann et al., 2017}). Las conexiones entre las matemáticas y el mundo natural condicionan la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (^{Barbosa, 2006}, ²⁰⁰⁹; ^{Blum, 2002}). Dentro de la investigación, ha llamado la atención el impacto de la modelización matemática en la enseñanza en todos los grados (^{Stillman et al., 2007}). Es fundamental analizar en la literatura cómo el modelado matemático apoya el desarrollo de habilidades en la educación de los alumnos (^{Kaiser & Sriraman, 2006}; ^{Kaiser y Maaß, 2007}; ^{Karawitz y Schukajlow, 2018}). El primer impase a superar es definir la modelización matemática, distinguiéndola de la matemática aplicada. Según ^{Blum (2002)}, ^{Blum et al. (2007)} y ^{Stillman et al. (2007)}, las matemáticas aplicadas se centran en el uso de herramientas matemáticas en una situación determinada del mundo real. La modelización matemática se centra, a su vez, en la identificación y el desarrollo de herramientas matemáticas que ayuden a resolver ese problema (^{Verschaffel, 2000}). La modelización matemática es un proceso de resolución de problemas del contexto real (^{Carreira y Blum, 2021}).

La intención de la modelización matemática puede interpretarse de diversas maneras. Algunos autores la interpretan como un vector de motivación para introducir, desarrollar y consolidar el conocimiento y el aprendizaje matemático (^{Barbosa, 2009}). Otros lo interpretan como un enfoque puramente educativo para desarrollar la capacidad de los alumnos de resolver problemas concretos (^{Galbraith y Stillman, 2006}). Aunque se trata de interpretaciones diferentes, no están disociadas. Al abordar un problema de modelización matemática centrándose en los procesos de resolución, se pueden alcanzar los objetivos de aprendizaje de determinados contenidos (^{Barbosa, 2009}; ^{Galbraith y Stillman, 2006}).

La resolución de un problema de modelización matemática requiere comprender e interpretar el contexto de la situación estudiada e identificar los principales aspectos del problema. Para ello, se pueden recoger datos y describir y comprender las relaciones y los patrones entre las cantidades para traducir esta información al lenguaje matemático (^{Blum, 2002}). Esta estructura matemática se denomina modelo matemático (^{Blum, 2002}; ^{Lesh y Fennewwald, 2010}). El desarrollo de un modelo puede realizarse a través de diversas representaciones para abarcar el posible potencial de respuestas a una situación determinada (^{Lesh y Fennewwald, 2010}).

Así, los modelos recorren diferentes dimensiones, de lo concreto a lo abstracto, de lo específico a lo general, de lo global a lo analítico, de lo simple a lo complejo, de lo situacional a lo descontextualizado y de lo intuitivo a lo formal (^{Lesh & Fennewwald, 2010}). La aplicación de un modelo matemático para estudiar un problema prevé el uso de herramientas y métodos matemáticos conocidos para extraer resultados matemáticos de ese modelo. A su vez, estos resultados deben ser interpretados y validados analizando su relevancia para el contexto y el propósito del problema real. Este proceso puede repetirse, desde cero, en la definición del modelo, en función de su eficacia como solución al problema (^{Blum, 2002}; ^{Greefrath, 2019}; ^{Stillman et al., 2007}). Este proceso se denomina modelización matemática, que se traduce en la identificación y definición de sus fases y transiciones en diversos diagramas o esquemas. ^{Stillman et al. (2007)} adaptaron un diagrama de ^{Galbraith y Stillman (2006)} para representar el ciclo de modelado matemático, incorporando el razonamiento que se produce entre las distintas fases (figura 1).

Figura 1  El proceso de modelización (^{Stillman et al., 2007})  

En este diagrama, las letras A-G representan las fases del proceso de modelización, y las flechas las transiciones entre las fases: (1) Comprender, estructurar, simplificar, interpretar el contexto; (2) Suponer, formular, matematizar; (3) Desarrollar y explorar matemáticamente; (4) Interpretar los resultados matemáticos; (5) Comparar, criticar, validar; (6) Comunicar, justificar (si el modelo se considera satisfactorio); (7) Volver a pasar por el proceso de modelización (si el modelo se considera insatisfactorio).

Para ^{Borromeo Ferri (2006)}, no siempre es de interés para el alumno pasar por todas las fases del ciclo de modelización en el aprendizaje de contenidos matemáticos, y hay que intentar adaptar este ciclo al contexto del aula. Los autores identifican, a partir de estudios y datos empíricos, los aspectos críticos que pueden bloquear a los alumnos en una determinada fase. Estos datos fueron recogidos en el contexto del aprendizaje de contenidos matemáticos mediante la modelización de problemas y el uso de herramientas tecnológicas (^{Galbraith y Stillman, 2006}; ^{Stillman et al., 2007}). Del análisis de estos datos se desprende que entre las principales dificultades de estudiantes se encuentran la comprensión del enunciado y su contexto (^{Galbraith y Stillman, 2006}; ^{Stillman et al., 2007}), la identificación de las variables dependientes e independientes, la elaboración del modelo, así como la estructura matemática del problema real (^{Dede, 2016}; ^{Galbraith y Stillman, 2006}; ^{Shahbari y Tabach, 2020}).

1.2. Funciones logarítmicas

Las funciones logarítmicas son esenciales en el cálculo infinitesimal y la modelización matemática porque aparecen asociadas a diversos fenómenos naturales, como la medición de la amplitud de un terremoto en la escala de Richter (^{Weber, 2017}).

La comprensión del concepto de función logarítmica se convierte en algo esencial para preparar al alumnado a enfrentarse a problemas concretos (^{Kenney y Kastberg, 2013}). Formalmente, en los programas escolares, la función logarítmica está definida como la función inversa de la función exponencial. Más concretamente, una función logarítmica de base a se define por , siendo De forma análoga, las funciones exponenciales, la comprensión de las funciones logarítmicas implica la capacidad de interpretar la notación utilizada (^{Kenney y Kastberg, 2013}; ^{Weber, 2017}). En la expresión percibir la dualidad entre el objeto como elemento del dominio de la función es y cómo el número obtenido en la forma es un obstáculo para la mayoría de los y las estudiantes (^{Weber, 2002}). Dado que la notación es relativamente atípica en comparación con las funciones algébricas, resulta confuso para la mayoría de estudiantes asociar propiedades y características específicas (^{Kenney y Kastberg, 2013}). La falta de comprensión de la notación de las funciones logarítmicas, en concreto de las bases y de las diferentes nomenclaturas puede dificultar el aprendizaje de sus propiedades algebraicas. El alumnado puede ser capaz de interpretar funciones lineales, cuadráticas e incluso exponenciales porque sus expresiones algebraicas indican en cierto modo cuál es el proceso subyacente. Sin embargo, la notación simbólica de las funciones logarítmicas es más compleja y ambigua (^{Mulqueeny, 2012}). Ante una ecuación logarítmica, los alumnos tienden a anular los logaritmos de la misma base como si fueran funciones polinómicas (^{Kenney y Kastberg, 2013}). Esto demuestra que los alumnos tienen dificultades para percibir el papel de las funciones logarítmicas como funciones inversas de las funciones exponenciales. Esta dificultad también se percibe en la representación gráfica, ya que coinciden con la representación gráfica de las funciones logarítmicas con la de las funciones exponenciales (^{Weber, 2017}). Un refuerzo de la dualidad entre una función biyectiva y su inversa a través de, por ejemplo, la raíz cuadrada y la función cuadrática, puede mejorar el aprendizaje de las funciones logarítmicas (^{Kenney y Kastberg, 2013}). Según ^{Sawalha (2018)}, proporcionar a los alumnos tareas de modelización en el aprendizaje de las funciones exponenciales y logarítmicas favorece la estructuración y comprensión de estos conceptos.

Las recomendaciones actuales para la educación matemática apuntan al desarrollo de competencias que los alumnos deben adquirir en su escolaridad (por ejemplo, NCTM, 2007). Según ^{Niss y Højgaard (2019)}, la competencia matemática es la capacidad de responder con prontitud y perspicacia a cualquier desafío matemático. Los autores subrayan la diferencia entre la competencia matemática y una competencia matemática, siendo esta última la capacidad de responder con prontitud y perspicacia a un reto matemático específico. La competencia matemática, por su parte, es una unión de habilidades matemáticas (^{Niss y Højgaard, 2019}). Para definir estos subconjuntos de competencias matemáticas, los autores subrayan que estos deben satisfacer la plenitud de las actividades matemáticas. Una actividad matemática es la acción dirigida a hacer y responder preguntas en o a través de las matemáticas (^{Niss y Højgaard, 2019, p. 14}). A partir de estos supuestos, ^{Niss y Højgaard (2019)} definen cuatro competencias que son esenciales para participar de manera eficiente en una actividad matemática: el pensamiento matemático fundamental; la elaboración y resolución de problemas matemáticos; el uso de modelos y la modelización matemática; y el razonamiento matemático. El dominio del lenguaje matemático, de los constructos y de las herramientas permite un mayor rendimiento en la realización de actividades matemáticas, que los autores traducen como otras competencias, destrezas: el manejo de las representaciones matemáticas; el manejo de los símbolos y formalismos matemáticos; la comunicación matemática; el manejo de los recursos materiales y de las herramientas matemáticas. Los autores subrayan que todas estas competencias son distintas, pero no están disociadas.

Por ello, hemos optado por dar especial relevancia a tres competencias que consideramos fundamentales en la modelización matemática: el tratamiento de los modelos y la modelización matemática; el tratamiento de las representaciones matemáticas; el tratamiento de los recursos materiales y las herramientas matemáticas. La primera se centra en la capacidad de construir modelos matemáticos y de analizar y evaluar modelos ya definidos, teniendo en cuenta diversos factores externos como datos, hechos, propiedades y el contexto de la situación. La capacidad de articular las diferentes fases del proceso de modelización se incluye en esta competencia (^{Stillman et al., 2007}). La competencia en el manejo de diferentes representaciones matemáticas consiste en la capacidad de interpretar y traducir los objetos, fenómenos, correspondencias y procesos matemáticos en una variedad de representaciones equivalentes, teniendo en cuenta las ventajas y limitaciones de cada una en la realización de una actividad matemática. La elaboración, el análisis y la interpretación de modelos están directamente relacionados con la manipulación de representaciones matemáticas (^{NCTM, 2000}; ^{Shahbari y Tabach, 2020}). Por último, la tecnología es esencial como recurso constructivo y crítico en la realización de una actividad matemática. Esta competencia también considera las ventajas y limitaciones de estas herramientas para utilizarlas puntualmente en función de la actividad matemática (^{Niss y Højgaard, 2019}).

3.1. Introducción al estudio de la función logarítmica

En la introducción al estudio de la función logarítmica, los alumnos comenzaron resolviendo, en par, una tarea de modelización que implicaba el conocimiento de la función exponencial previamente estudiada. La elección de esta función como modelo que surge de la resolución de la tarea propuesta se debió a la relación entre la función exponencial, con una base real positiva dada distinta de uno, y su función inversa, la función logarítmica con la misma base (tarea 1, anexos). En la exploración de esta tarea, los alumnos indicaron que interpretaron lo que la tarea preveía y les pedía. En las fases de análisis de datos, construcción del modelo y validación, los alumnos pretendían desarrollar un modelo matemático que representara la situación de la tarea. Las preguntas 2 y 3 de la tarea completan e ilustran estas fases. Los alumnos utilizaron esquemas para organizar los datos en la calculadora gráfica, identificando las variables dependiente e independiente. El par P3 recurrió a esquemas de acción instrumentados de la calculadora gráfica para obtener un modelo lineal y representó un esquema de la nube de puntos del número de bacterias en función del tiempo. Aunque en este croquis se observa una curva exponencial, definieron un modelo lineal. Esto demuestra que no percibieron bien el papel del coeficiente de determinación Importar imagen o que estos alumnos no intentaron averiguar otros modelos (figura 2).

Figura 2  Respuestas del Par P3 a los puntos 2 y 3 de la Tarea 1  

Asimismo, al definir el mejor modelo que se ajusta a los datos, los pares P11 y P13 no recurrieron a la calculadora gráfica y definieron un modelo matemático mediante procesos algebraicos a partir de los datos de la tabla. Estos alumnos reconocieron en los datos una progresión geométrica de razón 2 y término general Importar imagen, donde n representa el número de procesos de división binaria ocurridos, lo que les permitió definir las siguientes funciones: donde es el tiempo en minutos (P13); donde t es el tiempo en minutos (P11). Estos modelos se corresponden perfectamente con los datos de la tabla y el proceso de división binaria si se trabaja con modelos discretos en lugar de continuos.

El par P7 identificó el modelo exponencial como el que mejor se ajustaba, basándose en el coeficiente de determinación pero no reconoció que ambos modelos mostrados en la pantalla representaban el mismo modelo. Para determinar cuál se ajustaba mejor a los datos, estos alumnos recurrieron al menú de recursión de la calculadora gráfica y trazaron los dos modelos en función de en una tabla para comparar sus valores.

Algunos alumnos se mostraron críticos con los modelos obtenidos con la calculadora gráfica e intentaron comprobar los resultados utilizando otra función de la calculadora gráfica (figura 3).

Figura 3  Respuesta del Par P7 a los puntos 2 y 3 de la Tarea 1  

Al explorar el modelo para responder a los ítems restantes, cabe destacar que los pares P11 y P13, definieron con papel y lápiz el mismo modelo exponencial intentaron resolver esta pregunta de forma analítica. Descompusieron el número 8000 en factores primos para resolver la ecuación Sin embargo, la descomposición obtenida, 2⁶ x 5³, fue un callejón sin salida para estos alumnos. El Par P13 utilizó la calculadora gráfica para resolver la ecuación gráficamente.

La resolución de las preguntas 5 y 6 de la tarea condujo al proceso inverso subyacente a la función exponencial para determinar el valor de 𝑥 resolviendo la ecuación. La aplicación de las propiedades de las funciones inversas, es decir, la representación gráfica de una función comparada con su función inversa, permitió a la calculadora gráfica representar la curva simétrica de la gráfica de la función exponencial determinada por la recta de ecuación Así, se estableció la relación recíproca entre la función exponencial y la función logarítmica con la misma base: Para sistematizar estos conocimientos, los alumnos resolvieron tareas sobre la noción de logaritmo de un número en una base determinada y sobre el estudio de las funciones logarítmicas.

3.2. Introducción a la derivada de la función logarítmica

La introducción a la derivada de la función logarítmica resultó de la resolución de una tarea de modelización sobre la intensidad del sonido en decibelios (tarea 2, anexo). A partir de los datos de la tabla y de la calculadora gráfica, los alumnos debían identificar el modelo que mejor se ajustaba a los datos presentados y responder a las preguntas restantes basándose en ese modelo. Esta tarea se resolvió en parejas, y las conclusiones se discutieron y analizaron en el grupo de clase.

La interpretación del enunciado de la tarea no suscitó ninguna duda en los alumnos; ninguna pareja cuestionó el significado de la expresión escala lineal contenida en la pregunta. La mayoría de las parejas no encontró dificultad en comprobar la veracidad del enunciado de Bell, reconociendo que, para que los datos verifiquen una escala lineal, debe existir una relación de proporcionalidad directa entre ellos, como ilustra la afirmación de P1: El enunciado es verdadero, dado que no es posible verificar una relación de proporcionalidad directa entre las dos variables presentes en la tabla.

Aunque los alumnos ya habían realizado una actividad de modelización matemática, la noción de modelo matemático no estaba clara para todos, así como el uso de la calculadora gráfica para determinar este modelo. Ocho parejas de alumnos (de quince) identificaron correctamente el papel de cada variable en la situación de la tarea, organizaron correctamente los datos en la calculadora gráfica y encontraron que el modelo logarítmico era el que mejor se ajustaba a los datos. Algunos alumnos no pudieron encontrar el modelo correcto porque invirtieron las variables o las listas en la tabla del menú de estadística. Por defecto, la lista 1 se asigna a la variable independiente y la lista 2 a la variable dependiente En el caso de esta tarea, la primera columna de la tabla de datos corresponde a la variable dependiente y la segunda a la variable independiente. Al invertir el papel de las variables, estos alumnos obtuvieron de forma natural un modelo exponencial. Sin embargo, otros alumnos no reconocieron el papel de las cantidades en juego y representaron gráficamente la nube de puntos de la relación en función de la intensidad sonora en dB, lo que indujo un modelo exponencial, como ejemplifica la respuesta dada por el par P13 (figura 4).

Figura 4  Respuesta del par P13 a la Tarea 2  

En cuanto a la exploración del modelo, a las parejas que definieron un modelo exponencial les resultó difícil responder a los ítems restantes. En el ítem 3, con el modelo exponencial, hay que calcular la variación en el intervalo . Sin embargo, la calculadora gráfica no permite realizar este tipo de cálculo. Esto indica que estos estudiantes se enfrentaron a algunas limitaciones de la calculadora gráfica.

Además de las limitaciones técnicas, también se observan limitaciones debidas a ciertos conceptos matemáticos, como la definición de tasa de variación instantánea en un punto. En cuanto al apartado 4, al no haberse introducido aún la primera derivada de las funciones logarítmicas, los alumnos no tuvieron la posibilidad de resolverlo analíticamente. Cinco pares de alumnos reconocieron que podían utilizar la calculadora gráfica para determinar la tasa de variación instantánea del modelo en el punto de abscisa 15, como revela la respuesta del par P1: Utilizando la derivada de la función logarítmica (en la gráfica de mi calculadora) es posible determinar la tasa de variación instantánea de la intensidad del sonido cuando La respuesta de este par de alumnos sirvió de lema para la introducción de la derivada de la función logarítmica que modelizó la situación de la tarea mediante la definición formal de la primera derivada de una función:. A continuación, se definió la primera derivada de cualquier función logarítmica de base mediante las propiedades algebraicas de los logaritmos y las correspondientes reglas de derivación.

3.3. Sistematización del conocimiento de funciones logarítmicas

Tras la introducción de la función logaritmo y su derivada, con dos tareas de modelización en las dos primeras lecciones, se procedió a la aplicación de los conocimientos adquiridos en el estudio de la función logaritmo mediante la resolución de tareas, como ejemplifica la tarea 3 sobre El pH de una sustancia, en grupos de 3 o 4 alumnos. Todos los y las estudiantes determinaron un modelo logarítmico como el que mejor se ajusta a los datos de la tabla. Sin embargo, solo la mitad de los grupos determinó el mejor modelo logarítmico, como ilustra la respuesta del grupo G2 (figura 5).

Figura 5  Respuesta del grupo G2 apartado 1 de la Tarea 3  

Los grupos que respondieron incorrectamente determinaron un modelo logarítmico que no corresponde al que mejor se ajusta a los datos del enunciado. Probablemente estos grupos se equivocaron al definir y organizar los datos en la calculadora gráfica. Uno de estos grupos, el grupo G6, determinó los coeficientes correctos del modelo logarítmico esperado, pero le resultó difícil traducir estos valores al modelo que sugería la calculadora gráfica. Al leer los coeficientes del modelo logarítmico obtenido, estos alumnos no identificaron que solo el coeficiente Importar imagen multiplicaba el logaritmo neperiano de .

En cuanto al apartado 3, se observa que la mayoría de los grupos intentaron resolverlo con métodos exclusivamente analíticos. Sin embargo, ningún grupo llegó al resultado esperado porque los alumnos no determinaron el dominio del modelo logarítmico del pH, considerando que solo podía tomar valores entre 0 y 14. Solo un grupo restringió el dominio del modelo logarítmico considerando la situación de la tarea. El grupo G4 resolvió previamente la ecuación donde representa el modelo obtenido, para determinar el dominio del modelo. Basados en los datos de la tabla se determinó los valores de Importar imagen por los que una solución tiene un pH de tipo ácido. El modelo logarítmico se traduce en una función estrictamente decreciente, lo que repercutirá en el orden de la desigualdad que traduce el enunciado. Los grupos que respondieron incorrectamente tuvieron dificultades para resolver la desigualdad y definir el dominio, como lo demuestra la resolución del grupo G8:

Al resolver esto usando la calculadora gráfica, hay varias limitaciones, a saber, la definición de la ventana de visualización. Al graficar el modelo logarítmico y la recta de ecuación en una ventana de visualización adaptada a la situación de la tarea, es imposible observar la intersección de las dos curvas; dado que los valores son demasiado pequeños, incluso ampliando el gráfico es imposible ver la intersección. Estas limitaciones provienen de las limitadas capacidades tecnológicas de la calculadora gráfica para representar cantidades infinitamente pequeñas o grandes. El hecho de que la solución no pueda leerse gráficamente puede haber perturbado a los alumnos en el uso de la calculadora gráfica en este apartado.

En cuanto al apartado 5, muy pocos grupos tuvieron tiempo de explorarlo. Solo dos grupos respondieron, identificando que una de las diferencias entre el modelo teórico de pH y el modelo obtenido a través de la tarea era la base del logaritmo, siendo un logaritmo decimal para el modelo teórico y un logaritmo neperiano para el modelo, como ilustra la respuesta del grupo G3: La fórmula estándar de pH se presenta a través del logaritmo decimal. En cambio, el modelo que presentamos se da en función del logaritmo neperiano. En la presentación a la clase de los resultados del grupo G3, se recordó el procedimiento para cambiar la base de los logaritmos a cualquier base para trabajar con logaritmos de bases iguales. De esta manera, se puede comparar la exactitud del modelo obtenido con el modelo teórico del enunciado.

3.4. Actividades y dificultades experimentadas por los alumnos

Basándose en el estudio empírico de ^{Stillman et al. (2007)}, la tabla 1 ilustra el rendimiento de estudiantes en la realización de actividades cognitivas clave para resolver convenientemente las tareas de modelado propuestas.

Tabla 1  Tasa de éxito de las actividades de estudiantes en la exploración de las tareas de modelización (%)  

El análisis de la tabla muestra que todo el alumnado, de alguna manera, realizó las actividades cognitivas esperadas mientras exploraban las tareas. Se identifican algunas habilidades de modelado, matemáticas y tecnológicas, que fueron fundamentales para la exploración de la tarea y que están en línea con la literatura (^{Niss y Højgaard, 2019}). Una de ellas es la interpretación del enunciado. Los alumnos, en su mayoría, identificaron, al leer el enunciado, la información relevante y la que no lo es, y las variables dependientes e independientes.

En la elaboración del modelo, fue primordial colocar y organizar los datos en la calculadora gráfica, saber trabajar con listas, representar la nube de puntos asociada a los datos y definir la lista que corresponde a cada variable. Los alumnos comprobaron qué modelo se ajustaba mejor a los puntos que representaban los datos en la tarea a partir de la nube de puntos. Cabe señalar que algunos alumnos revelaron dificultades para organizar los datos en una tabla de acuerdo con la situación de la tarea y para saber utilizar y leer las regresiones disponibles en la calculadora gráfica.

Para la exploración de las preguntas, era esencial aplicar los conocimientos matemáticos. A partir del enunciado, los alumnos tradujeron y relacionaron la información con el modelo obtenido. A medida que aumentaba la complejidad de las tareas, los alumnos mostraban dificultades para aplicar correctamente estos conocimientos matemáticos. Reconocer la necesidad de utilizar la calculadora gráfica para realizar cálculos, representar gráficos, resolver ecuaciones y comprobar resultados se hace inevitable al explorar este tipo de tareas. También se destaca la necesidad de que los alumnos sepan graficar una función y definir una ventana de visualización adecuada a la situación, aunque esto puede llevar a representaciones confusas cuando se trata de magnitudes desproporcionadas (^{Campos et al., 2015}; ^{Consciência, 2013}). Sin embargo, sin una base teórica sólida, los alumnos no pueden identificar si lo que aparece en la pantalla de la calculadora gráfica es matemáticamente válido y si es coherente con la situación de la tarea (^{Conciencia, 2013}).