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Fúneme, C. y López, L. (2022). Conocimiento didáctico-matemático de algunos docentes sobre los números primos. Alteridad, (17) 2, 208-223. https://doi.org/10.17163/alt.v17n2.2022.04
1. Introducción
La didáctica de la matemática busca, entre otras cosas, entender las diferentes problemáticas que emergen en la enseñanza y aprendizaje de la matemática y cómo podrían solucionarse (Godino, 2021). En esta búsqueda se ha destacado la importancia de mejorar el proceso de formación docente (Ball, 2022; Ball et al., 2008; Rowland et al., 2005; Shulman, 1986), entendiendo que un docente competente para la enseñanza y aprendizaje de la matemática debe, por ejemplo, conocer múltiples formas de conceptualizar y representar el contenido matemático, comprender los aspectos clave de cada tema y ver conexiones con otros objetos del contexto intra y extra-matemático (Godino et al., 2018). También es fundamental que conozca los orígenes, estructura y desarrollos curriculares, así como las direcciones del contenido (Ball, 2000; Kilpatrick et al., 2001).
Dada la complejidad y amplitud de los objetos matemáticos, se puede focalizar la atención en el caso del aprendizaje y enseñanza de objetos concretos (D'Amore y Sbaragli, 2019). En este artículo se presenta el conocimiento de profesores de matemáticas sobre los números primos desde la visión del Modelo del Conocimiento Didáctico-Matemático (CDM). La elección de este objeto matemático se da al considerar que existen evidencias del desconocimiento por parte de algunos docentes sobre estrategias para mostrar a los y las estudiantes la importancia y utilidad de los números primos, por lo que deben recurrir a concepciones superficiales y anecdóticas que desencadenan en conceptualizaciones erradas (Bernaschini, 2017; Kiss, 2020; Zazkis y Lijedahl, 2004).
1.1. El Modelo del Conocimiento Didáctico-Matemático (CDM)
El CDM se ha desarrollado en el marco del Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (EOS), sistema teórico que posee fundamentos epistemológicos, ontológicos y metodológicos propios (Godino, 2022). Específicamente, en el EOS se considera que el aprendizaje de la matemática se da a través de la resolución de problemas (Godino et al., 2020). En este sentido, la enseñanza es el proceso mediante el cual el profesor establece una trayectoria didáctica para el o los objetos matemáticos de los que se espera que el estudiante adquiera conocimiento (Godino et al., 2008).
El proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática está cargado de una complejidad de múltiples dimensiones (personal, social, política, económica, psicológica, cognitiva, epistemológica, instruccional, etc.) y esto genera la necesidad de plantear fundamentaciones que abarquen cada una de ellas de manera profunda (Burgos et al., 2018). El CDM se ha desarrollado considerando que el docente de matemáticas debe tener conocimiento sobre las seis facetas que definen un proceso de estudio (Godino, 2009; Pino-Fan et al., 2014).
La primera de ellas es la faceta epistémica, donde se considera la representatividad de los significados que se desarrollan en el aula en contraste con el significado de referencia que existe de cada objeto matemático (Burgos y Godino, 2021). La faceta cognitiva aborda la proximidad de los significados y su relación con el desarrollo cognitivo de quien aprende; la faceta afectiva, la implicación de los y las estudiantes en la trayectoria determinada por el profesor (Beltrán-Pellicer y Godino, 2020; Hummes et al., 2019).
En cuanto al conocimiento que debe poseer el docente de matemática sobre la enseñanza, aparecen las facetas interaccional y mediacional, la primera referida a la identificación y resolución de los conflictos cognitivos que surgen en el aprendizaje y la segunda a la adecuación de los recursos materiales y temporales (Giacomone et al., 2019). Por último, La faceta ecológica vincula el conocimiento que debe tener el profesorado respecto al currículo, su implementación y ajuste a las demandas de la sociedad y del entorno de estudiantes (Castro y Pino-Fan, 2021).
Las anteriores facetas se hacen operativas a través del análisis de: las prácticas, acciones realizadas en la actividad matemática; configuraciones, descripción de objetos y procesos matemáticos que emergen en las prácticas; normas y metanormas, consideración de las reglas y hábitos que condicionan las prácticas; y finalmente la idoneidad, proceso de identificación de posibles mejoras en los procesos de instrucción. En el CDM el estudio y reflexión sobre cada faceta se concreta en los indicadores presentados en la figura 1.
2. Metodología
El enfoque asumido es el cualitativo, proceso de indagación flexible que tiene la intención de comprender el significado de las acciones de los sujetos que experimentan el fenómeno de interés (Bejarano, 2016). Además, el alcance de esta investigación es descriptivo, pues se recolectan y describen datos relacionados con la realidad educativa de cinco docentes de educación básica secundaria de instituciones educativas colombianas, los cuales son mencionados como: A, B, C, D y E. La elección de estos profesores no es probabilística, el único criterio tenido en cuenta fue la aceptación de la invitación que realizaron los investigadores a través de correo electrónico.
En cuanto a la obtención de la información, se realizó un encuentro de dos horas donde se implementó el análisis de la actividad didáctico-matemática en torno a las facetas del CDM. En este tipo de análisis se presenta a las y los profesores situaciones de aprendizaje para que analicen y reflexionen sobre cada uno de los indicadores del CDM (Godino et al., 2007). En esta investigación se presentan tres situaciones-problemas que movilizan conocimiento didáctico-matemático sobre los números primos, al estar relacionadas con tres elementos del desarrollo histórico y epistémico de estos números: la búsqueda de algoritmos para la determinación de números primos, la inclusión o exclusión del 1 en este conjunto y el uso de los números primos en problemas relacionados con el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
La estructuración de los datos se realizó mediante el análisis de categorías, en este caso, las seis facetas del modelo CDM. Se tomaron los datos textuales de las respuestas que dieron las y los profesores en cada una de las actividades, identificando aquellas manifestaciones que revelan los pensamientos, ideas y conocimiento de los participantes respecto a las categorías (Strauss y Corbin, 2002).
3. Resultados
En esta sección se presenta detalladamente las tres situaciones analizadas y su relación con las facetas del CDM y el nivel de conocimiento didáctico-matemático de las y los profesores participantes.
3.1. Análisis didáctico-matemático de situación 1
La primera situación se planteó con el objetivo de analizar qué es un número primo para las y los docentes, contemplando su relación con los números impares y la inclusión o no del número 1 como número primo. Esta situación es la siguiente:
Situación 1. Se pidió a los y las estudiantes de una institución educativa escribir los números primos menores que 10 y se obtuvieron las siguientes respuestas.
Tipo 1: 1, 2, 3, 5, 7.
Tipo 2: 2, 3, 5, 7.
Tipo 3: 3, 5, 7.
3.1.1. Faceta epistémica en situación 1
Se propuso a las y los profesores responder: ¿Cuál o cuáles respuestas debería aceptar el profesor como correctas? ¿Qué conceptos y/o propiedades matemáticas deben usar los alumnos para dar una solución correcta? Las cuales permiten abordar los componentes de conocimiento común y especializado. Las soluciones esperadas, respectivamente, eran:
Las respuestas 1 y 2 son correctas. Esto teniendo en cuenta que el 1 puede ser considerado primo o no.
División, divisibilidad, divisores, criterios de divisibilidad, número primo, descomposición, múltiplo, número par e impar, relación de orden, etc.
Todo el grupo participante respondió que la respuesta Tipo 2 era correcta, solo E indicó a la respuesta Tipo 3 como válida. Para la pregunta 2, A expresó que los conceptos a utilizar eran los divisores, múltiplos y criterios de divisibilidad; B indicó al número par e impar, divisores y criterios de divisibilidad; C a los números primos; D eligió a los números primos y pares; mientras que E respondió que eran necesarios los números naturales, múltiplos, divisores, factor, división y descomposición.
De dichas respuestas se destaca que ningún docente considera al número 1 como primo, solo 2 de ellos reconocen que el concepto de número primo es necesario para responder la situación y ninguno identifica que el empleo de la expresión “menor que” deba considerarse. Finalmente, el docente que indicó a la respuesta Tipo 3 como correcta, revela que no diferencia a los números primos de los impares.
3.1.2. Facetas cognitiva y afectiva en situación 1
Se planteó respecto a estas facetas: describir las posibles dificultades presentes en las respuestas incorrectas, que han llevado al alumnado a responder de manera errónea. La solución esperada era: si el docente indicaba que la respuesta Tipo 1 era correcta, entonces se esperaba que resaltara que el estudiante no lograba reconocer al 1 como un número primo y que existía dificultad para diferenciar los números primos de los impares. Si el docente había señalado que 2 era correcta, se esperaba que expresara la dificultad para reconocer que 1 no es primo. Finalmente, si indicaba que 3 era correcta, se prevé que identificara que la o el estudiante no reconoce que los números pares no son primos. Las respuestas fueron:
A: Tal vez el estudiante tenga confusión en si el número 1 es o no número primo, podría confundirse en que es divisor de sí mismo y de uno. Para la respuesta tipo 3, tal vez tenga confusión en que los divisores de dos sean 1 y 2 y creería que por ser el primer número no se deba incluir.
B: No diferenciar números pares e impares. No identificar los divisores de un número. No tener claridad en el concepto o características de número primo.
C: Confunden números impares con números primos o no tienen clara la definición.
D: La no realización de la actividad en clase y por lo tanto no cuentan con los conceptos definidos. Olvidan el concepto de número primo. Tablas de multiplicar y por tanto no determina los divisores.
E: Manejo de conceptos, dificultad en dividir, dificultad en la descomposición de números, dificultad en la comprensión lectora.
El aspecto que resalta en las respuestas es que todo el profesorado hace alusión al manejo del concepto de número primo; sin embargo, no lo habían contemplado en la pregunta 1 de la faceta epistémica como algo necesario para solucionar la situación. Además, B plantea la necesidad de diferenciar entre números pares e impares, es decir, nuevamente confunde a los números primos e impares. Finalmente, A al tratar de explicar errores en el tipo de solución 3, no identificó que los números que se están presentando son impares.
3.1.3. Facetas mediacional e interaccional en situación 1
Para abordar estas facetas se planteó la pregunta ¿Qué estrategias utilizaría usted como profesor para orientar a aquellos alumnos que no han sabido resolver el problema? Explique detalladamente su respuesta. Como solución se esperaba la enunciación de estrategias como la resolución de problemas, el trabajo colaborativo, la explicación por parte del docente, el uso de material didáctico, desarrollo de actividades lúdicas, etc. Además de explicaciones del cómo en cada una de ellas se trabajarían los aspectos problemáticos en el aprendizaje del estudiante. Las respuestas fueron las siguientes:
A: Pediría dividir cada número en uno, en él mismo y en los números anteriores a él, de tal manera que las divisiones que sean exactas son los valores que sirven. Reforzaría los conceptos de número primo y compuesto.
B: Recordar el concepto o características de un número primo. Recordar e identificar los números pares e impares. Ejercitar mediante ejercicios sencillos el concepto de divisor de un número.
C: Primero hacerles ver la diferencia entre número impar y número primo basándose en la definición y ejemplos.
D: Reforzar tablas de multiplicar, proceso de división y divisores de un número. Definir y aclarar las propiedades de los números 2 y 1 con la definición de número primo. Crear una cartelera con el listado de los primeros números primos.
E: Juegos didácticos. Videos. Ejercicios prácticos conociendo conceptos que le ayudarán a entender mejor el tema. Realización de actividades secuenciadas, donde ellos sigan instrucciones.
En estas respuestas se encuentra que cuatro profesores sostienen que la solución de las dificultades se logra con acciones del docente como la aclaración del concepto, el repaso de los algoritmos de la división y la multiplicación, la diferenciación de los números pares, impares y primos. Solo E contempla actividades de un carácter distinto, proponiendo estrategias de carácter lúdico; sin embargo, su respuesta se centra en enunciar estrategias y no aclara la relación con el objeto matemático, es decir, considera las estrategias como algo independiente del objeto.
3.1.4. Faceta ecológica en situación 1
Para finalizar el trabajo con la situación 1 se preguntó: ¿Para cuál o cuáles cursos considera usted pertinente este problema, de acuerdo con el currículo actual? En este aspecto se esperaba como respuesta que este objeto matemático puede ser trabajado en cualquier curso superior al cuarto grado de educación básica primaria, dado que esto es lo indicado en las directrices para el área de matemáticas de Colombia. Las respuestas fueron: A respondió grado tercero de primaria; B manifestó que a partir de grado cuarto; C expresó que en todos los grados de primaria y en sexto: D eligió tercero, cuarto y quinto de primaria; y finalmente E respondió que en quinto de primaria y sexto de secundaria.
De esta forma, se encuentra que solo B reconoce los cursos en los que se puede trabajar los números primos de acuerdo con el contexto curricular nacional. De los demás, solo E indica algunos grados adecuados, mientras que A, C y D indican grados en los cuales según las directrices curriculares y los conceptos matemáticos previos no resulta coherente abordar los números primos.
3.2. Análisis didáctico-matemático de situación 2
La segunda situación se propuso con el objetivo de analizar qué estrategias y procedimientos emplean las y los profesores para determinar una lista de números primos menores a un número dado y cómo lo presentan a sus estudiantes. Esta situación fue:
Situación 2. Escribir los números primos menores que 20.
3.2.1. Faceta epistémica en situación 2
Se planteó a las y los profesores: Resuelva el problema planteado ¿Qué limitaciones tiene la solución presentada por usted a los y las estudiantes? Las respuestas esperadas, respectivamente, eran:
Solución 1: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Solución 2: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
El método se vuelve poco eficiente al aumentar el límite superior.
Las respuestas se presentan en la figura 2.
Se encuentra que solo las y los docentes A, B y C resolvieron la situación planteada, lo que evidencia la incertidumbre de D y E sobre la manera correcta de responder. En cuanto a la pregunta, únicamente A logró identificar una posible dificultad con lo que realiza, al explicar que carece de estrategias para presentar la solución, mientras que C, D y E respondieron de manera evasiva centrándose en los errores que pueden cometer los y las estudiantes y no en sus propias acciones. Finalmente, B no logró expresar las limitaciones de su respuesta.
3.2.2. Facetas cognitiva y afectiva en situación 2
Se indicó a las y los profesores: describa las posibles dificultades que pueden llevar a las y los estudiantes a responder de manera errónea. De lo cual, se esperaba que ellos plantearan dificultades como la confusión de los números primos con otros conjuntos como los números impares, la inclusión o no del 1 como número primo, la falta de un algoritmo eficiente de generación de números primos, el desconocimiento del concepto de número primo o la imposibilidad de calcular los números solicitados por falta de dominio de objetos matemáticos previos. Las respuestas que se obtuvieron son:
A: No tener claro el concepto de número primo, no conocer divisores y múltiplos de un número. No saber dividir.
B: Algunas de las posibles dificultades podrían ser: No diferenciar números pares e impares, no identificar los divisores de un número, no tener claridad en el concepto o características de número primo.
C: Confunden números impares con números primos o no tienen clara la definición.
D: No responde.
E: El no tener conceptos claros.
De estas respuestas se observa que tres docentes (A, B y C) coinciden en que se debe tener claro los conceptos previos como: múltiplos, divisores, números pares e impares. Sin embargo, solo A reconoce la necesidad de la comprensión del concepto de número primo. Además, D no logró establecer posibles dificultades en la solución de la situación y E da una respuesta poco específica, por lo cual no evidencia una comprensión de lo que puede ocurrirle al estudiantado al afrontar esta situación.
3.2.3. Facetas mediacional e interaccional en situación 2
Para abordar estas facetas se cuestionó: ¿Qué tipo de recurso utilizaría para presentar la solución del problema?, ¿Qué preguntas haría a sus estudiantes luego de presentar la solución?, ¿Cómo evaluaría los aprendizajes logrados? Las respuestas esperadas, respectivamente, eran:
La criba de Eratóstenes, aplicativos virtuales, actividades lúdicas, el tablero, tablas de multiplicación, etc.
Preguntas como: ¿Qué dificultades observaron en su desarrollo? ¿Qué estrategias de solución utilizarían? ¿El desarrollo de alguna de ellas no quedó claro? ¿Qué se puede concluir con lo anterior? ¿Qué relaciones y diferencias encuentran con otros conjuntos numéricos como los números naturales, pares, impares, múltiplos de un número, etc.? Entre otras.
La enunciación explícita de estrategias como la evaluación continua, la autoevaluación, la coevaluación, o la implementación de cuestionarios, tareas, problemas y ejercicios, entre otros.
Las respuestas se presentan en la figura 3.
Respecto a la pregunta 1, se destaca que B y E mencionan la Criba de Eratóstenes (aunque E no recuerda el nombre), mientras que A utilizaría las tablas de multiplicar y el C no logra hacer explícito algún instrumento. De lo anterior, se observa un conocimiento limitado de instrumentos que se relacionen con el aprendizaje y enseñanza de los números primos.
En cuanto a la pregunta 2, A y B enfatizan en la necesidad de abordar las dificultades enfrentadas por el estudiantado, mientras que C expresa que recurriría al cuestionamiento sobre aspectos conceptuales de los números primos sin especificar cómo lo haría. Por su parte, D recalcaría en aspectos normativos como las emociones y necesidades del estudiantado. Finalmente, E profundizaría sobre las estrategias que utilizaron los y las estudiantes cuando resolvieron la situación.
En el interrogante final, A, C y E no logran expresar de manera precisa cómo evaluarían, dando respuestas genéricas, mientras que B y D plantean de manera detallada las estrategias e instrumentos que utilizarían, pero omiten qué aspectos del objeto matemático abordarían.
3.2.4. Faceta ecológica en situación 2
Para finalizar el análisis de la situación 2 se preguntó: ¿Para cuál curso considera usted pertinente este problema, de acuerdo con el currículo actual? Como respuesta se esperaba que expresaran que la situación puede trabajarse en cursos superiores a grado cuarto, ya que es un objeto matemático que tiene relación con temáticas de niveles de formación superiores.
Lo indicado por las y los profesores fue: para A el grado pertinente es tercero de primaria; B expresó que cualquier grado a partir de cuarto de primaria; C eligió a todos los grados de primaria y sexto de educación secundaria; D no dio una respuesta; y E indicó al grado sexto de educación secundaria. En estas respuestas se encuentra que solo B reconoce los cursos en los que se puede trabajar los números primos de acuerdo con el contexto curricular nacional y a la naturaleza del objeto matemático. De los demás, solo E indica un grado adecuado, pero omite que puede ser abordado en otros niveles, mientras que A y C indican grados en los cuales, según las directrices curriculares y los conceptos matemáticos previos necesarios al abordar los números primos, no resulta coherente abordar este objeto matemático.
3.3. Análisis didáctico-matemático de situación 3
La situación número tres se planteó con el objetivo de analizar si las y los profesores reconocían la conexión de los números primos con otros objetos matemáticos, específicamente los objetos mínimo común múltiplo, máximo común divisor, descomposición en factores primos y divisibilidad. La situación es:
Situación 3. Se pidió al estudiantado de una institución resolver el siguiente problema: María ha decidido hacer pulseras y quiere adornarlas con perlas. Si tiene 24 perlas blancas y 36 azules, y quiere hacer el máximo número de pulseras posibles de manera que: Use todas las perlas, todas las pulseras tengan la misma cantidad de perlas, todas las manillas tienen perlas de los dos colores. ¿Cuántas pulseras podrá hacer?
3.3.1. Faceta epistémica en situación 3
Para esta faceta se pregunta: ¿Con cuáles conceptos previos y más avanzados del currículo escolar relaciona el contenido involucrado en la resolución de este problema? Para lo cual se esperaban respuestas como: entre los conceptos previos, números naturales, división, multiplicación, divisores de un número, criterios de divisibilidad, múltiplos de un número, número par e impar, simplificación de fracciones; para los más avanzados podrían mencionarse el máximo común divisor, mínimo común múltiplo, factorización, números racionales, entre otros. Las respuestas fueron:
A: Múltiplos, divisores, números primos y números compuestos, descomposición en factores primos y mínimo común múltiplo.
B: Números pares e impares, divisor de un número, números primos, números compuestos, descomposición en factores primos, criterios de divisibilidad, máximo común divisor.
C: números primos, descomposición y lógica matemática.
D: M.C.D. y criterios de divisibilidad.
E: Descomposición factorial y mínimo común múltiplo.
En las respuestas se logran identificar varios de los conceptos previos esperados, aspecto que no ocurre con los conocimientos más avanzados. De hecho, las y los profesores no lograron hacer explícito cuáles consideran como previos y cuáles como más avanzados. Entre los conceptos previos se resalta que ningún profesor identificó alguna relación entre números primos y fracciones, objetos matemáticos presentes desde la educación básica primaria. Además, aunque en el análisis de la situación 1 y las respuestas de los demás interrogantes hacen bastante énfasis en dificultades relacionadas con el manejo de los diversos conjuntos numéricos, solo B menciona este aspecto.
3.3.2. Facetas cognitiva y afectiva en situación 3
Para estas facetas se dio la siguiente indicación: señale las posibles dificultades presentes en las respuestas incorrectas. La solución esperada fue: no tener en cuenta que para realizar la descomposición en factores se utilizan los números primos y no números compuestos; no conocer el algoritmo para calcular el máximo común divisor; la falta de conocimiento sobre los números primos; entre otras. Las respuestas fueron:
A: Decide hacer máximo común divisor por separado y no tiene en cuenta el orden de la descomposición. No tiene claro la definición de descomposición en factores primos y busca un divisor que se le facilite.
B: Algunas de las posibles dificultades podrían ser: No tener claridad en el concepto o características de número primo, No tener claridad que el proceso de descomposición se debe hacer únicamente empleando números primos y de menor a mayor.
C: No tienen claro que las descomposiciones se deben hacer solo con números primos.
D: No tener claro los conceptos de M.C.D. No recordar el listado de los números primos o la forma de encontrarlos. Comprensión lectora.
E: Manejo de operaciones elementales.
En lo expresado por las y los docentes se encuentra que ninguno logró identificar que en cada tipo de solución existía diferentes errores y dificultades, por lo cual presentan una visión global de dificultades relacionadas con el problema, pero no con las particularidades de cada solución; más aún, ninguno encontró que existía una solución correcta. Adicionalmente, con excepción de E, quien otorga una respuesta sin especificidad, todos enfatizan que no existía claridad en el manejo de la descomposición en factores primos, pero no expresaron qué aspecto de esa descomposición es el que falla en cada solución.
3.3.3. Facetas mediacional e interaccional en situación 3
Para finalizar el análisis de la situación 3 se preguntó: ¿Qué estrategia utilizaría para remediar los errores encontrados? Se esperaban soluciones como: retomar la situación planteada y desarrollarla paso a paso, aclarar la necesidad de hacer la descomposición en números primos, abordar el concepto de número primo, solicitar la socialización de las respuestas correctas de los y las estudiantes, entre otras. Las respuestas fueron:
A: Recordaría nuevamente descomposición en factores primos. Recordaría nuevamente el proceso para determinar el máximo común divisor de dos o más números.
B: Algunas de las estrategias empleadas podrían ser: aclaración del concepto o características de número primo. Ratificar que el proceso de descomposición se debe hacer únicamente empleando números primos y de menor a mayor.
C: Reforzar concepto y aplicación de números primos.
D: Desarrollar la corrección de la actividad, enfatizando en los errores cometidos para así realizar los refuerzos correspondientes.
E: Manejar material concreto.
De lo mencionado por las y los profesores se encuentra que A, B y C centran su atención en la necesidad de abordar los aspectos conceptuales de forma que olvidan por completo la situación problema, mientras que D recurriría a la solución de la situación planteada abordando los errores cometidos, pero omite el papel de aquellos que la resolvieron de forma adecuada. Finalmente, E recurriría a material de apoyo para la solución, pero no explica por qué y cómo esto ayudaría o no a que los y las estudiantes identificaran sus errores.
3.4. Clasificación del conocimiento
A partir de los indicadores presentados en la figura 1 y de las respuestas a las preguntas planteadas respecto a los números primos, se clasifica el conocimiento didáctico-matemático de cada docente como nivel nulo (0), nivel bajo (1), nivel medio (2), nivel alto (3) y nivel avanzado (4) en cada una de las facetas del CDM. Para iniciar, la clasificación del nivel de conocimiento en la faceta epistémica se presenta en la figura 4.
Se encuentra entonces que A y C tienen un conocimiento común alto, B avanzado, D medio y E bajo. Lo que implica que, a excepción de E, las y los participantes cuentan con el conocimiento necesario para resolver situaciones relacionadas con el manejo de los números primos en el contexto escolar correspondiente al grado sexto de educación básica secundaria en Colombia.
Sin embargo, en la valoración del conocimiento especializado B obtuvo un nivel medio y los demás un nivel bajo, debido a que el tipo de soluciones que pueden ofrecer a las situaciones carecen del manejo de diversidad de representaciones, estrategias y conexiones con otros objetos matemáticos. Este bajo nivel también aparece en el conocimiento ampliado, donde ningún profesor logró relacionar a los números primos con temáticas u objetos matemáticos más avanzados en el currículo escolar.
Respecto a las facetas cognitiva y afectiva, la valoración presentada en la figura 5 muestra que A y B alcanzan un nivel de conocimiento medio y los demás un nivel bajo. La principal falencia encontrada es la dificultad para hacer explícitos los significados personales de los y las estudiantes al resolver situaciones que abordan los números primos. Aspecto que se conecta con otro indicador problemático, no promover acciones que involucren al estudiantado en la solución de dichas situaciones.
Por otra parte, en las facetas interaccional y mediacional, que se presenta en la figura 6, se hace explícito que A, B y D tienen un nivel de conocimiento medio, pues logran describir la manera en que desarrollarían sus acciones de enseñanza para abordar situaciones asociadas a los números primos. Dicho aspecto no fue logrado por C y E, quienes se ubican en el nivel bajo.
Se destaca que el aspecto que no permite que los participantes lleguen a un nivel de conocimiento avanzado es que no lograron asociar sus acciones de enseñanza con la articulación de diversas situaciones, por lo contrario, todos los ellos enfatizaron en la necesidad de solucionar las dificultades de los y las estudiantes desde la misma situación en la que emergieron.
Finalmente, en la exploración de la faceta ecológica se establece que todos los y las docentes participantes poseen un conocimiento de nivel bajo, dado que no logran identificar los niveles académicos o grados en los que los números primos están presentes, ya sea como objeto central de estudio o como objeto que se conecta con otros. Además, ninguno logra hacer explícitos los factores que condicionan la relación de los números primos con sus propiedades, la resolución de problemas, ni tampoco con la dinámica social, cultural y científica que hay en torno a ellos.
4. Discusión y conclusiones
Respecto a la faceta epistémica se encontró que la falta de conocimiento avanzado radica, como explican D’Amore y Fandiño (2005), en el hecho del desconocimiento del desarrollo histórico y epistemológico de los números primos, lo que implica no asumir posiciones comprometidas y significativas respecto a ellos. A su vez, la dificultad para establecer conexión con otros objetos matemáticos puede tener origen en una concepción de la matemática en la que el profesorado desconoce que los objetos matemáticos no son entes aislados; por el contrario, están en constante relación (Bagni, 2006; Bagni y D’Amore, 2005). En este caso, el desconocimiento de la conexión de los números primos con otros objetos genera una conciencia débil en el profesorado de lo que estos números ofrecen matemática y didácticamente (Grugnetti y Rogers, 2000).
En las facetas cognitiva y afectiva, se identificó como principal obstáculo el no poder establecer mecanismos para involucrar a estudiantes en la solución de situaciones relacionadas con los números primos. Radford (2020, 2021) sostiene que esto se debe a que las creencias y concepciones del profesorado, respecto al papel de estudiantes y del docente, los ubica como polos opuestos en los que el aprendizaje es un atributo exclusivo del estudiante y, por tanto, es natural que el docente no tenga que implicarse en despertar el interés del estudiante por el aprendizaje.
En lo referente a las facetas mediacional e interaccional, se evidenció en las y los profesores la dificultad para gestionar diversas trayectorias didácticas en función de las necesidades, dificultades, errores y obstáculos que puede enfrentar el estudiantado. Este aspecto emerge a partir del fuerte arraigo de la necesidad de catalogar lo que observan a través de calificativos como bueno o malo, correcto o incorrecto, entre otros, pero no consideran necesario ni oportuno dar espacio para el reconocimiento de descripciones y razonamientos más profundos que permitan establecer posibilidades de mejora (Breda et al., 2018; Font, 2011; Oyarzún y Soto, 2020).
En la faceta ecológica se encuentra que la principal dificultad para las y los docentes es el reconocimiento de las conexiones entre los números primos y el entorno del estudiantado. De Gamboa et al. (2015) explican que esto obedece a dos tipos de creencias, la primera, que la acción del profesor de matemática obedece exclusivamente al desarrollo del aprendizaje de la propia disciplina, obviando así la necesidad de ofrecer al estudiante conexiones con otras disciplinas; y la segunda, que las conexiones matemáticas resultan complejas para los y las estudiantes y por ello no es prudente presentarlas (D’Amore y Radford, 2017; Llinares, 2016).
Los resultados particulares de cada faceta permiten establecer como conclusión de esta investigación, que el modelo CDM permite identificar el conocimiento didáctico matemático del profesorado respecto a los números primos, lo cual resulta fundamental en la intención de la didáctica de la matemática de establecer criterios para mejorar los procesos de formación docente. Además, la posibilidad de establecer el conocimiento posibilita, a educadores e investigadores, el desarrollo de procesos de reflexión y mejora de las prácticas didácticas.
