INIGUEZ, Anibal    RUIZ LEAL, Bladismir. Atractores en funciones lineales crecientes por parte en la recta real. []. , 4, 2, pp.48-61.   01--2021. ISSN 2631-2654.  https://doi.org/10.37135/ns.01.08.03.

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Resumen: Las funciones lineales por parte (o a trozos) aparecen como modelos matemáticos para describir sistemas provenientes de la ingeniería eléctrica, ciencias físicas y economía, recientemente también aparece en modelos de la actividad neuronal. Se considera una familia a 4 parámetros de funciones lineales crecientes por parte sobre la recta real ℝ usando la teoría de funciones continua crecientes por parte sobre intervalos compactos para estudiar la existencia de conjuntos atractores y describir la dinámica del atractor, verificando la existencia de órbitas periódicas, transitividad y la existencia de medidas ergódicas invariantes. Se demuestra específicamente los diferentes valores del parámetro donde la familia exhibe un intervalo atractor. Se prueba las condiciones necesarias y suficientes para que el conjunto atractor sea globalmente atractor, de hecho, en este caso se prueba que la dinámica de dicho atractor se comporta como la dinámica de la rotación de Poincaré del círculo unitario. También, se describe bajo qué condiciones en los parámetros la familia exhibe un atractor topológico. Finalmente se prueba la existencia de medidas invariantes ergódicas absolutamente continua a la medida de Lebesgue asociado a la familia restricta al atractor, inclusive se prueba el caso equivalente a la medida de Lebesgue.

Abstract: Piecewise linear maps appear in mathematical models to describe systems from electrical engineering, physical sciences and economics recently also appears in models of neural activity. It is considered a family with 4 parameters of piecewise increasing linear maps on the real line ℝ using the theory of piecewise continuous increasing transformations on the compact intervals to study the existence of an attractor set and describe the dynamics of the attractor, verifying the existence of periodic orbits, transitivity and the existence of ergodic invariant measures. The different values of the parameter where the family exhibits an attractor interval are specifically demonstrated. The necessary and sufficient conditions are tested for the attractor set to be globally attractor. in fact, in this case it is proved that the dynamics of said attractor behaves like the dynamics of the Poincaré rotation on the unit circle. Also, it is described under what conditions in the parameters the family exhibits a topological attractor. Finally, the existence of absolutely continuous ergodic invariant measures to the Lebesgue measure associated with the family restricted to the attractor is proven, the case in which the measure is equivalent to the Lebesgue measure is even tested.

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